Question

Valorile lui m ∈ R pentru care
x² + y² - 4x - 2y + m > 0 pentru orice x, y ∈ R

Answer 1

$\it x^2+y^2-4x-2y+m>0 \Rightarrow x^2-4x +4 +y^2-2y+1 +m-5>0\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (x-2)^2+(y-1)^2 +m-5>0\ \ \ \ \ (*)\\ \\ (x-2)^2\geq0,\ \ (y-1)^2\geq0 \stackrel{(*)}{\Longrightarrow}\ m-5>0 \Rightarrow m>5 \Rightarrow m\in(5,\ \infty)$

Prin urmare, inegalitatea din enunț are loc, pentru orice x, y reali, dacă

m ∈ (5, ∞).