Question

Vârful O al triunghiului isoscel OAB este centrul unui cerc ce intersectează baza [AB] în punctele C si D. Demonstrați că [AC]=[DB]

Answer 1

trOAC si trODB sunt congruente
OA=OB tr OAB isoscel
OC=OD raze
unghiOAC= unghi OBC
=>AC=DB

Answer 2

OAB triunghi isoscel, atunci OA=OB si $\angle{OAB}=\angle{OBA}$
O este centrul unui cerc iar C si D sunt pe conturul cercului, atunci stim ca OC si OD sunt raze, de unde rezulta ca: OC=OD=R unde R este raza cercului.
Atunci putem spune ca triunghiul OCD este isoscel, cu unghiurile congruente:
$\angle{OCD}=\angle{ODC}$ C si D aflandu-se pe segmentul AB, atunci putem afla si unghiurile exterioare acestor unghiuri, sau suplementele lor
$\angle{OCA}=180-\angle{OCD}$
$\angle{ODB}=180-\angle{ODC}$
Impreuna cu relatia: $\angle{OCD}=\angle{ODC}<span>$ rezulta ca
$</span>\angle{OCA}=\angle{ODB}$
Acum ne uitam la triunghiurile OAC si ODB si vedem suma unghiurilor din fiecare
$\angle{OCA}+\angle{OAC}+\angle{AOC}=180$
$\angle{ODB}+\angle{OBD}+\angle{BOD}=180$
Mai stim ca $\angle{OCA}=\angle{ODB}$ si $\angle{OAB}=\angle{OBA}$ care e totuna cu $\angle{OAC}=\angle{OBD}$
Asadar rezulta ca si ultimul unghi din fiecare este egal
$\angle{AOC}=\angle{BOD}$(1)
ne aducem aminte si ca: OA=OB(2) si ca OC=OD(3) si atunci din (1),(2),(3) rezulta ca triunghiurile OAC si ODB sunt congruente cu o relatie de tip LUL(2 laturi congruente si unghiul dintre ele). Atunci si ultimele laturi ramase din triunghi sunt congruente, adica AC=DB