Question

vectori a si b sun necoliniari.Sa se arate ca vectori a+b si a-b sunt vectori necoliniari

Answer 1

Doi vectori sunt coliniari daca unul se poate scrie in functie de celalalt multiplicat cu un factor scalar de forma
$\vec{a}=k\vec{b}$ unde a si b sunt vectori iar k este un numar real nenul, deci k diferit de 0 dar real.
In enunt spune ca sunt necoliniari deci nu exista un astfel de k
Sa presupunem prin reducere la absurd ca Vectorii respectivi a+b si a-b ar fi coliniari cu un factor m numar real de proportionalitate, desi vectorii a si b sunt necoliniari. Atunci
$\vec{a}+\vec{b}=m(\vec{a}-\vec{b})\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=m\vec{a}-\vec{b}\Rightarrow (m+1)\vec{b}=(m-1)\vec{a}\Rightarrow \vec{a}=\frac{m+1}{m-1}\vec{b}$daca inlocuim $\frac{m+1}{m-1}=k$ am ajunge fix la situatia ca a si b sunt coliniari, desi stim ca nu sunt, deci presupunerea absurda este contrazisa.

2 exceptii sunt pentru m.
1) m=-1 In acest caz $\frac{m+1}{m-1}=k=0$ si am spus ca acest k are valoare nenula. Atunci egalitatea de mai sus devine
$\vec{a}+\vec{b}=(-1)\vec{a}-(-1)\vec{b}=-\vec{a}+\vec{b}\Rightarrow \vec{a}=\vec{0}$
2) Daca m=1 atunci ecuatia devine $\frac{m+1}{m-1}=k=\frac{2}{0}$ care este un numar irational pentru ca impartim la 0
Atunci sa vedem ce ar da pentru m=1
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}-\vec{b}\Rightarrow \vec{b}=\vec{0}$

Deci am gasit 2 exceptii. Dar cum vectorul nul este coliniar cu orice alt vector, atunci iar contrazice presupunerea initiala ca vectorii sunt necoliniari, deci relatia este adevarata