Question

Verificati daca legea de compozitie este asociativa:

Answer 1

$x*y = \frac{1}{2} (x + y - xy + 1)$

$x*y = \frac{x + y - xy + 1}{2}$

$\forall\:x,y,z\: \in\:\mathbb{R}\: \: \:x*(y*z)=(x*y)*z$

$x*(y*z) = x* \frac{y + z - yz + 1}{2}$

$\frac{y + z - yz + 1}{2} = t \: (notatie)$

$= x*t = \frac{x + t - xt + 1}{2}$

$= \frac{x + \frac{y + z - yz + 1}{2} - \frac{x(y + z - yz + 1)}{2} + 1 }{2}$

$= \frac{ \frac{2x + y + z - yz + 1 - xy - xz + xyz - x + 2}{2} }{2}$

$= xyz - xy - xz - yz + x + y + z + 3 \: \: (1)$

$(x*y)*z = \frac{x + y - xy + 1}{2} *z$

$\frac{x + y - xy + 1}{2} = t \: (notatie)$

$= t*z = \frac{t + z - tz + 1}{2}$

$= \frac{ \frac{x + y - xy + 1}{2} + z - \frac{z(x + y - xy + 1)}{2} + 1}{2}$

$= \frac{ \frac{x + y - xy + 1 + 2z - zx - zy + xyz - z + 2}{2} }{2}$

$= xyz - xy - xz - yz + x + y + z + 3 \: \: (2)$

Din (1)=(2)=>"*" asociativă