Question

Vom numi un număr natural n fidel dacă există numere naturale a < b < c astfel încât a | b, b | c și n=a+b+c
Determină mulțimea numerelor naturale care nu sunt fidele

Answer 1

Răspuns

1,2,3,4,5,6,8,12,20,24,40

Explicație pas cu pas:

Daca n este impar, n=2k+1=1+2(k-1), deci n=2k+1 este fidel pentru orice k≥3

2⁴=16 este fidel deoarece 16=1+3+12=1+5+10

Daca un numar natural n este fidel, atunci este clar ca orice multiplu al lui n este de asemenea fidel: mn=m(a+b+c)=ma+mb+mc

→prin urmare, singurele numerele care ar putea sa nu fie fidele sunt cele de forma 2ⁿ(2k+1) cu n={0,1,2,3} si k={0,1,2}, adica n∈{1,2,3,4,5,7,8,12,20,24,40}.Cum insa 10=1+3+6 este fidel, la fel si 20 si 40 sunt. Deoarece orice numar fidel n≥1+2+4=7, rezulta ca 1,2,3,4,5,6 nu sunt fidele. Raman in dubiu 8,12 si 24, analog demonstram ca si ele nu sunt fidele