Question

Vreau doar o idee. Cum se calculeaza un determinant de ordin n ? Este un determinant de ordin n care contine doar numere si poate fi dezvoltat.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

${\bf Notație:}$ Fie $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ o matrice pătrată de ordine $n\in\mathbb{N},\: n\ge 2$ asupra corpului $\mathbb{K}$ (De exemplu, $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$). Pentru $i,j\in\left\{1,...,n\right\}$ fixate vom reprezenta prin $A(i\mid j)$ matricea pătrată de ordine $n-1$ asupra lui $\mathbb{K}$ care se obține din $A$ prin suprimarea rândului $i$ și colunei $j$.

${\bf Exemplu:}$ Să considerăm matricea

$A=\begin{bmatrix} 3&-1&2&-2\\5&4&-2&1\\0&1&\sqrt{2}&0\\3&-2&0&1\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}).$

Vom avea

$A(2\mid 3)=\begin{bmatrix}3&-1&-2\\0&1&0\\3&-2&1\end{bmatrix}.$

${\bf Definiție:}$ Fie $A=[a_{ij}]\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}).$ Determinantul lui $A$ este un element din $\mathbb{K}$ și se reprezintă prin $\det A$ sau, uneori prin $\left|A\right|$ este dată prin:

$\det(A)=\begin{cases} a_{11}\quad \text{dacă } n=1\\ \sum_{k=1}^{n}{a_{1k}(-1)^{1+k}\det(A(1\mid k))}\quad \text{dacă } n>1\end{cases}$

Aceasta sugerează că determinantul se dezvoltă doar în primul rând, în mod recursiv. Proprietățile următoare sunt consecințe acestei definiții.

${\bf Proprietate:}$ Dacă $A=[a_{ij}]\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ cu $n\ge 2$, vom avea, pentru fiecare $i\in\left\{1,...,n\right\}:$

$\det(A)=\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}(-1)^{i+k}\det(A(i\mid k))}$

$\det(A)=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}(-1)^{k+i}\det(A(k\mid i))}.$

Adică, putem dezvolta în orice rând sau colună.

O altă formă de a calcula determinantul unei matrice necesită de o anumită maturitate:

${\bf Definiție}$(Formula lui Leibniz): Fie $A=[a_{i,j}]\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ și $S_n$ grup simetric de ordine $n$. În aceste condiții

$\det(A):=\sum_{\sigma\in S_n}{\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}{a_{\sigma(i),i}}}=\sum_{\tau\in S_n}{\text{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^{n}{a_{i,\tau(i)}}}$