Question

vreau sa stiu cum se rezolva tipul asta de ecuatii vrg ajutati.ma
(m+1)x^2-x+m-1>=0 pt oricare x apartine R

Answer 1

Răspuns:

in general:

f(x) = ax²+bx+c, a≠0

Δ<0 ⇒ f are semnul lui a, (∀) x ∈ R

Δ= 0 ⇒ f are semnul lui a (∀) x ∈ R-{-b/2a} si val. 0 in x = -b/2a

Δ>0 ⇒ f -are semnul lui a daca x ∈ (-∞. x1)) ∪ (x2, +∞) , semn contrar lui a pe intervalul x ∈ (x1, x2) si val 0 daca x ∈ {x1, x2}

⇒ f(x) ≥0 (∀) x ∈ R ⇔Δ≤0 si a > 0

in cazul nostru

f(x) = (m+1)x²-x+m-1

f(x) ≥0 (∀) x ∈ R ⇔ Δ≤0 si (m+1)>0

⇔1-4(m+1)(m-1)≤0 si (m+1)>0

⇔1-4(m²-1)≤0 si (m+1)>0

⇔1≤4(m²-1) si (m+1)>0

⇔5≤4m² si (m+1)>0

⇔5/4≤m² si m>-1

5/4≤m² ⇒ m ∈ (-∞.-√(5/4)] ∪ [+√(5/4), +∞)   (1)

m>-1 ⇒ m ∈ (-1,+∞)  (2)

⇒m apartine intersectiei multimii de valori (1) cu multimea de valori (2)

-√(5/4) <-1

⇒m ∈ [+√(5/4), +∞)

Answer 2

Răspuns:

Ai ecuația (m+1)x²-x+m-1≥0, ∀m∈R

Primul pas este să egalezi ecuația cu 0, ca să vezi ce soluții are.

(m+1)x²-x+m-1=0

Ea este o ecuație de gradul 2, așa că trebuie să găsești coeficienții ei pentru a calcula Δ. În cazul acesta:

a = m+1

b = -1

c = m-1

Folosești formula pentru a calcula Δ:

Δ = b² - 4·a·c = (-1)²-4·(m+1)(m-1) = 1-4(m²-1) = 1-4m²+4 = -4m²+5

De aici, avem 3 cazuri:

Cazul 1: Δ>0 (ecuația are două soluții reale distincte: x₁≠x₂)

-4m²+5>0 ⇒ 4m²-5<0

Obținem o altă ecuație de gradul 2, de data aceasta cu necunoscuta m, pe care o rezolvăm.

Δ = 0 - 4·4·(-5) = 80 ⇒ m₁ = $\frac{4\sqrt{5} }{8} =\frac{\sqrt{5} }{2}$

                                ⇒ m₂ = $\frac{-4\sqrt{5} }{8}=\frac{-\sqrt{5} }{2}$

Pentru că ecuația trebuie să fie mai mică decât 0, se face tabelul de semne și se obține că m∈($\frac{-\sqrt{5} }{2},\frac{\sqrt{5} }{2}$)

Cazul 2: Δ=0 (ecuația are două soluții reale identice: x₁=x₂)

-4m²+5=0 ⇒ 4m²-5=0

Δ = 0 - 4·4·(-5) = 80 ⇒ m₁ = $\frac{4\sqrt{5} }{8} =\frac{\sqrt{5} }{2}$

                                ⇒ m₂ = $\frac{-4\sqrt{5} }{8}=\frac{-\sqrt{5} }{2}$

⇒m∈{$\frac{-\sqrt{5} }{2},\frac{\sqrt{5} }{2}$}

Cazul 3: Δ<0 (ecuația nu are soluții reale)

-4m²+5=0 ⇒ 4m²-5=0

Δ = 0 - 4·4·(-5) = 80 ⇒ m₁ = $\frac{4\sqrt{5} }{8} =\frac{\sqrt{5} }{2}$

                                ⇒ m₂ = $\frac{-4\sqrt{5} }{8}=\frac{-\sqrt{5} }{2}$

⇒m∈(-∞ , -√5/2) ∪ (√5/2 , ∞)

Normal la exercițiile de genul o să-ți ceară să afli m pentru unul din cele 3 cazuri de mai sus. Sper că te-am ajutat :)