Question

(x+1)^2 + (x+3)^2+...+(x+99)^2 = (x-2)^2 + (x-4)^2 +...+ (x-100)^2



am nevoie urgeeent

Answer 1

Preliminarii:
Dacă a și b sunt două numere reale, atunci știm că
[tex](a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2\\~ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2-2ab+b^2[/tex]

Suma lui Gauss:
[tex]\text{Fie }s =1+2+3+...+100 \\~ [1]1+2+3+...+100=s\\~ [2]100+99+98+...+1=s\\~ [1]+[2]=2s=101*100 \implies s = \frac{101*100}{2}\\~ \\~ \text{In concluzie, }1+2+3+...+100=\frac{100*101}{2} = 101*50 = 5050[/tex]

Aplicând același raționament pentru un n arbitrar, obținem:
$1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

Suma pătratelor primelor n numere:
Pentru un k real avem: $(k-1)^3 = k^3-3k^2+3k-1$,
reanrajăm termenii și obținem: $k^3-(k-1)^3 = 3k^2-3k+1$.
Pentru k de la 1 la n obținem n egalități ca cea de mai sus și le adunăm:
[tex]n^3 = 3(\sum_{k=1}^{n}k^2)-3(\sum_{k=1}^{n}k)+\sum_{k=1}^{n}1\\~ n^3 = 3(\sum_{k=1}^{n}k^2)-3\frac{n(n+1)}{2}+n\\~ 3(\sum_{k=1}^{n}k^2) =n^3+3\frac{n(n+1)}{2}-n\\~ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{3}n^3+\frac{3n(n+1)}{6}-\frac{1}{3}n\\~ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{2n^3-2n+3n(n+1)}{6}\\~ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(2n^2-2+3(n+1))}{6}\\~ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(2n^2-2+3n+3)}{6}\\~ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(2n^2+1+3n)}{6}\\~ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\~[/tex]

De asemenea, știm că de la 1 la 100 avem 50 de numere pare și numere impare.

Rezolvare:
$(x+1)^2+...+(x+99)^2 = (x-2)^2+...+(x-100)^2$

numărul termenilor din stânga este egal cu numărul termenilor din dreapta.

Aplicând formula de calcul prescurtat(cea de la început), obținem că:

(în stânga: $50x^2+2(1+3+...+99)x+1^2+3^2+...+99^2$ )
(în dreapta: $50x^2-2(2+4+...+100)x+2^2+4^2+...+100^2$)

Observăm că $50x^2+...=50x^2+...$,așadar am scăpat de x^2.
Observăm că avem 2x*paranteză, iar în paranteză este jumătate din suma lui Gauss.

Într-un final, obținem:$(5050*2)x+1^2+3^2+...+99^2-(2^2+4^2+...100^2)$

[tex]2^2+4^2+...100^2 = \sum_{i=1}^{50}(2i)^2 = \sum_{i=1}^{50}(2^2i^2)\\~ 2^2+4^2+...100^2 = 4\sum_{i=1}^{50}i^2 = \frac{2*50*51*101}{3}=\frac{102}{3}5050[/tex]

[tex]1^2+3^2+...+99^2 = \sum_{i=1}^{100}i^2-\sum_{i=1}^{50}(2i)^2\\~ 1^2+3^2+...+99^2 = \frac{100*101*201}{6}-\frac{2*50*51*101}{3}\\~ 1^2+3^2+...+99^2 = \frac{100*101*201-2*100*51*101}{6} =\frac{100*101(201-102)}{6}\\~ 1^2+3^2+...+99^2 =\frac{99*100*101}{6} =\frac{33}{2}5050[/tex]

$(5050*2)x+\frac{33}{2}5050-34*5050\\~ 2x+\frac{33}{2}-34=0\\~ x = \frac{68-33}{4}=\frac{35}{4}$