Question

√(x+1) + √(x-4) = 5 ?!

Answer 1

Conditii de existenta: x+1≥0 si x-4≥0 ⇒"x≥4". Pridicam la patrat ambi membri si obtinem: $x+1+2 \sqrt{(x+1)(x-4)}+x-4=25$,separam radicalul, impartim ambi membi cu 2 si obtinem:$\sqrt{x^2-3x-4}=14-x$. Punem din nou conditia ca ambi membri sa fie pozitivi, 14-x≥ 0, ⇒x≤14, intersectat cu prima conditie ⇒x∈[4; 14], interval in care se admit solutii, ridicam din nou la patrat si rezulta: $x^{2} -3x-4=194-28x+ x^{2},$. se reduc termenii asemenea si obtinem: 25x=200 ⇒ x=8, solutie ce se afla in domeniul de definitie.
 

Answer 2

Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuatiei, si obtinem:


[tex]x+1+2\sqrt{(x+1)(x-4)} +x-4=25 \Leftrightarrow 2\sqrt{(x+1)(x-4)} =28-2x [/tex]

Impărtim la 2 ecuatia, si rezultă:

 
$\sqrt{(x+1)(x-4)} = 14-x$


Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuatiei, si obtinem:

(x+1)(x-4) =(14-x)² ⇔x²-3x-4=196-28x+x² ⇔25x=200

⇔ x = 8.

Verificăm (etapă obligatorie !) dacă x = 8 este soluție a ecuației inițiale:

$\sqrt{8+1}+\sqrt{8-4}=5 \Leftrightarrow 3+2=5 \Leftrightarrow 5=5\ (Adevarat).$

Deci, ecuatia dată are soluția unică x=8.

Observatie:

Verificarea de la final, in acest caz particular(!), fluidizează rezolvarea ecuației, neinițiind calcule pentru condițiile de existență a ecuației.