Question

[(x+13)/6] = (x+20)/7
Parantezele pătrate se refera la partea întreagă
Mulțumesc anticipat! ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

x+20=7k  pt ca e nr intreg, deci numarator divizibil cu numitor

x=7k-20, k intreg

sau x=7k+1, e analog 'translatam " Z cu 21, obtinem tot Z

apoi aplcam teoria

[x]≤x<[x]+1

incare x a devenit (x+13)/6

atunci

(x+20)/7≤(x+13)/6<(x+20)/7+1

inmultim cu 42

6x+120≤7x+91<6x+120+42

scadem 6x+91 de peste tot (!!!am scazut (x+ 120) si nu afost bine..nu se verifica  solutia!! are treaba tot cu 7k+20 si 7k-1)

29≤x<71

dar x e deforma 7k+1

convin deci 29, 36, 43, 50, 57,64

verificare

pt 29....[42/6]=7

pt 36...[49/6]=8

pt 43...[56/6]=9

etc

Answer 2

$\it \Big[\dfrac{x+13}{6}\Big]=\dfrac{x+20}{7}$

Membrul stâng al ecuației este număr întreg, deci și membrul drept

va fi un număr întreg.

$\it Fie \ t\in\mathbb{Z},\ pentru\ care\ \dfrac{x+20}{7}=t \Rightarrow x+20=7t \Rightarrow x=7t-20\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Ecua\c{\it t}ia\ devine:\\ \\ \\ \Big[\dfrac{7t-20+13}{6}\Big]=t \Rightarrow \Big[\dfrac{7t-7}{6}\Big]=t \Rightarrow t\leq\dfrac{7t-7}{6}<t+1|_{\cdot6} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 6t\leq7t-t<6t+6|_{-6t} \Rightarrow 0\leq t-7<6|_{+7} \Rightarrow 7\leq t<13|$

Deoarece t este număr întreg, vom avea:

$\it t\in\{7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12\}|_{\cdot7} \Rightarrow t\in\{49,\ 56,\ 63,\ 70,\ 77,\ 84\}|_{-20} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 7t-20\in\{29,\ 36,\ 43,\ 50,\ 57,\ 64\}\ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow x \in\{29,\ 36,\ 43,\ 50,\ 57,\ 64\}$