Question

x^2-2x+m=0 are radiciniile reale x1 si x2 . Stiind ca x1-x2 in modul =1 sa se determine m

Answer 1

Relatia pe care trebuie sa o folosesti este ca orice modul la patrat este egal cu acel numar la patrat
$|a|^{2}=a^2$
Asta este usor de demonstrat. Stim ca pentru orice numar a modulul este definit asa
I) |a|=-a cand a<0. Atunci $|a|^{2}=|a|*|a|=(-a)*(-a)=a^{2}$
II)|a|=a cand a>0. Atunci $|a|^{2}=|a|*|a|=a*a=a^{2}$
Atunci avem
$|x1-x2|=1\Rightarrow |x1-x2|^{2}=(x1-x2)^{2}=1^{2}=1$
Mai stim din relatiile lui Viete ca pentru o ecuatie de gradul al doilea
$x^{2}-Sx+P=0$ cu radacinile x1 si x2 avem urmatoarele ecuatii
$S=x1+x2$
$P=x1*x2$
In cazul nostru
$S=2$
$P=m$
Atunci avem
$(x1-x2)^{2}=x1^{2}+x2^{2}-2x1*x2=x1^{2}+x2^{2}+2*x1*x2-2*x1*x2-2x1*x2=(x1+x2)^{2}-4x1x2=2^2-4m=1\Rightarrow 4(1-m)=1\Rightarrow 1-m=\frac{1}{4}\Rightarrow m=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$