Question

(x+3) + (x+5) + ... + (x+27) = 338

Va rog ajutati-mă! Sunt progresii si eu habar nu am să le fac!

Answer 1

Păi, este o sumă de elemente dintr-o progresie aritmetică (crește cu 2 fiecare termen).

Primul termen, este primul scris de tine: x+3.
Deci: 
a₁ = x+3
a₂ = x+5
...
aₙ = x+27

Ok, acum trebuie să aflăm rația, r. Este 2, e clar (pentru că elementele progresiei cresc cu 2), dar să facem totuși și o demonstrație cu formula:
a ₖ = a₁ + r(k-1)

Deci, aplicăm formula pentru k = 2
a₂ = a₁ + r(k-1) = a₁ + r(2-1) = a₁ + r(2-1) = a₁ + r
a₂ = x+5
=>  a₁ + r = x + 5
a₁ = x+3
=> x+3 + r = x + 5    | totul -3
=> x + r = x + 2        | totul -x
=> r = 2

Ok, acum știm primul termen, știm rația. Știm și suma, care e 338.
Formula sumei(formula sumei primilor n termeni) este:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) * n}{2}$

Știm cât este Sₙ, este 338, dar nu știm cât este acel n. Deci aplicăm iarăși formula termenului general, dar pentru ultimul termen care îl avem în șir, și a cărui număr nu îl știm (știm că e n, dar nu știm al câtelea e în șir).

a ₖ = a₁ + r(k-1)
aₙ = a₁ + r(n-1)
și mai avem din ipoteză:
aₙ = x+27
=> x+27 = a₁ + r(n-1)
x+27 = x+3 + 2*(n-1)
x+27 = x+3 + 2n - 2
x+27 = x+1 + 2n
x+27 - 1 = x + 2n
x+26 = x + 2n
x+26 - x = 2n
26 = 2n
n = 26/2 = 13

Deci am aflat:
n = 13
a₁₃ = x + 27


Acum doar aplicăm formula sumei, că în rest știm tot:
n = 13
a₁₃ = x + 27
a₁ = x + 3

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) * n}{2} = 338 \\\\ S_{13} = \frac{(a_1 + a_{13}) * 13}{2} = \frac{(x+3 + x+27)*13}{2} = 338 \\\\ \frac{(2x + 30)*13}{2} = 338 \\\\ (2x + 30)*13 = 338 * 2 = 676 \\\\ (2x + 30) = 676:13 = 52 \\\\ 2x + 30 = 52 \\\\ 2x = 52 - 30 = 22 \\\\ x = 11$

Deci x = 11



Verificare:
a₁ = x+3 = 11 + 3 = 14
aₙ = a₁₃ = x+27 = 11 + 27 = 38
S₁₃ = (14+38)*13 / 2 = 52*13 / 2 = 676 / 2 = 338