Question

x^4+y^4+z^4>=xyz(x+y+z) - little help

Answer 1

Răspuns:

Se folosește inegalitatea

$x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz, \forall x,y,z\in\mathbb{R}$  (1)

Înlocuind pe $x,y,z$ cu $x^2,y^2,z^2$ se obține

$x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2$

Aplicând încă o dată inegalitatea (1) pentru numerele $xy,xz,yz$ avem

$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\ge (xy)(xz)+(xy)(yz)+(xz)(yz)=\\=x^2yz+xy^2z+xyz^2=xyz(x+y+z)$

Prin tranzitivitate rezultă inegalitatea din enunț

Explicație pas cu pas: