Question

x= $7^{52} + 7^{53}+7^{54}+...+7^{72}$ - 1x2x3x4x5x6 . Sa se calculeze restul impartirii lui x la 19.

Answer 1

$X=7^{52}+...+7^{72}-720=\\ ~~~=7^{51}(7+49+343)+....+7^{69}(7+49+343)-720. \\ 7+49+343=399=19\cdot21$
Se vede de aici ca suma puterilor lui 7 este un numar divizibil cu 19.
Vom calcula restul impartirii numarului 720 la 19.
Acest rest este 2.
$X+720=(7^{52}+7^{53}+7^{54})+....+(7^{70}+7^{71}+7^{72})\\ (X+720)(\mod19)=\\=[(7^{52}+7^{53}+7^{54})+....+(7^{70}+7^{71}+7^{72})](\mod 19)=0\\ (X\mod19)+2=0\Rightarrow X\mod19=17.$