Question

(x+y)(1/x + 1/y)>4
x,y numere reale pozitive

Answer 1

sa aratam ca:
(x+y)(x+y)/xy - 4 ≥0, cu x,y reale pozitive R+, se obtine:
(x+y)^2-4xy≥0
x^2+y^2+2xy-4xy≥0
x^2+y^2-2xy≥0 (1)
pentru a demonstra (1) plecam de la relatia evidenta : (x-y)^2≥0 ⇔ x^2+y^2-2xy≥0
prin urmare inegalitatea din enunt (1) este demonstrata.
se observa cu usurinta ca egalitatea are loc pentru x=y

Answer 2

$(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 4$

$\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y} \geq 4$

$1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1 \geq 4$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 4-2$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$

{amplificam prima fractie cu x si a doua fractie cu y}

$\frac{x^{2}}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}\geq 2$

$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy} \geq2$

$\frac{x^{2}+y^{2}+2xy-2xy}{xy} \geq2$

$\frac{(x+y)^{2}}{xy}-\frac{2xy}{xy} \geq2$

$\frac{(x+y)^{2}}{xy}-2 \geq2$

$\frac{(x+y)^{2}}{xy}-4 \geq 0$

Amplificam pe 4 cu xy:

$\frac{(x+y)^{2}}{xy}-\frac{4xy}{xy} \geq 0$

$\frac{(x+y)^{2}-4xy}{xy} \geq 0 |*xy$

$(x+y)^{2}-4xy \geq 0$

$x^{2}+2xy+y^{2}-4xy \geq0$

$x^{2}-2xy+y^{2} \geq0$

$(x-y)^{2} \geq 0$ (A)


=> $\boxed{(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 4}$