Question

x, y sunt reale pozitive. x+y =1 x^(2)+y^(2)> sau egal cu 1/2 ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

x+y=1 |², ⇒ (x+y)²=1², ⇒ x²+y²+2xy=1, ⇒ x²+y²=1-2xy. (1)  Dar, din relația dintre media aritmetică și media geometrică a două numere reale pozitive avem:

$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}~|^2,~=>~xy\leq \frac{(x+y)^2}{4},~=>~xy\leq \frac{1}{4}~|*(-2),~=>~-2xy\geq -\frac{1}{2},~|+1~=>~ 1-2xy\geq 1-\frac{1}{2},~=>~1-2xy\geq \frac{1}{2}$

Din (1), ⇒ x²+y²≥ 1/2