Question

x*y=xy-x-y+2,det. elemente simetrizabile ale monoidului M

Answer 1

Fie legea x*y= xy-x-y+2 si trebuie sa se afle multimea tuturor elementelor simetrizabile ale lui M pe care o vom nota: U(M)

U(M)= { x ∈ M / x - simetrizabil}

Vom folosi axioma elementelor inversabile: xox'= x'ox= e   ∀ x,x' ∈ M

Pentru a putea rezolva exercitiul va trebui, mai intai, sa aflam elementul netru, dat de axioma: xoe=eox=x  ∀ x ∈ M



Luam mai intai prima egalitate:    xoe=x

Pentru legea de compozitie data avem:

x*e=x

x*e-x-e+2=x
e(x-1)=x+x-2
e= (2x-2)/(x-1)= 2(x-1)/(x-1)=2 
e=2 ∈ R

Luam acum a2a egalitate si o vom scrie pentru legea de compozitie data:

e*x=x
e*x-e-x+2=x
e(x-1)= 2(x-1)
e=2 ∈ R

Astfel, avand elementul netru determinat putem afla elementele simetrizabile ale monoidului M prin axioma:

x * x'= x' * x= e

Luam pe rand fiecare parte a egalitatii si verificam legea elementului simetrizabil:

x * x'= 2                                                                          x' * x= 2

x* x' -x - x'+2=2                                                              x' * x - x' -x+2=2
x' ( x-1) - x=0                                                                  x' ( x-1) - x=0 
x' ( x-1) = x                                                                     x' = x/(x-1) ∈ M  
x' = x/(x-1) ∈ M     
 
[ x-1 ≠ 0 ===> x≠ 1]       ===> U(M) = M \ {1}