Question

(x+y)(y+z)(z+x)>_8xyz acolo e mai mare sau egal cum se rezolva?

Answer 1

Presupun ca e vorba de demonstrarea inegalitatii (x+y)(y+z)(z+x) >= 8xyz, stiind ca x,y,z >= 0folosim inegalitatea mediilor:x+y >= 2*rad(x*y), y+z >= 2*rad(y*z), z+x >= 2*rad(z*x), inmultind aceste inegalitati avem:(x+y)(y+z)(z+x) >= 2*rad(x*y)*2*rad(y*z)*2*rad(z*x), adica  (x+y)(y+z)(z+x) >= 8*rad(x2*y2*z2) <=>  (x+y)(y+z)(z+x) >=
8xyz ce trebuia demonstrat Obs.: Sa ai mare grija : inecuatie si inegalitate nu inseamna acelasi 

Answer 2

folosește inegalitatea mediilor. ia fiecare paranteza.
întâi gândește te : media aritmetica >= media geometrica.
ma=(x+y)/2
mg=rad (xy)
și ai (x+y)/2>=rad (xy) (amplifica-l cu doi)
x+y>=2×rad (xy)
acum fa exact la fel și cu celelalte paranteze.
o sa obții x+z>=2×rad (xz)
y+z>=2×rad(yz).
înmulțești astea 3 relații și obții exact ce aveai de obținut :(x+y)(y+z)(z+x)>=8 rad (x la a 2 ×y la a 2×z la a doua)
și scoți de sub radical și obții 8xyz