Question

xOy M(0,2) N(6,8) si P(3,5) calculati ecuatia dreptei MN,calculati aria triunghiului MOP

Answer 1

Explicație pas cu pas pct a):

Pentru a determina ecuatia unei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte de pe aceasta avem mai multe posibilitati.

Metoda 1 (cu determinant):

$MN: \left|\begin{array}{ccc}x_M&y_M&1\\x_N&y_N&1\\x&y&1\end{array}\right|=0 \\MN: \left|\begin{array}{ccc}0&2&1\\6&8&1\\x&y&1\end{array}\right| =0\\MN:0+6y+2x-8x-0-12=0\\MN: -6x+6y-12=0\\MN:x-y+2=0$

Metoda 2 (cu formula de determinare a ecuatiei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte):

$MN: \frac{x-x_M}{x_N-x_M}=\frac{y-y_M}{y_N-y_M}\\MN: \frac{x-0}{6-0}=\frac{y-2}{8-2}\\MN: x=y-2\\MN: x-y+2=0$

Metoda 3 (gasind vectorul director al dreptei MN si punand conditia ca M sau N sa apartina dreptei):

Vectorul director este:  

$\vec{MN}=(x_N-x_M)\vec{i}+(y_N-y_M)\vec{j}=6\vec{i}+6\vec{j}$

Coordonatele vectorului director sunt:

$\vec{MN}=(6,6)$

Ecuatia dreptei va fi:

$MN: \frac{x-x_M}{x_{\vec{MN}}}=\frac{y-y_M}{y_{\vec{MN}}}\\MN: \frac{x-0}{6}=\frac{y-2}{6}\\MN: x-y+2=0$

Sau:

$MN: \frac{x-x_N}{x_{\vec{MN}}}=\frac{y-y_N}{x_{\vec{MN}}}\\MN: \frac{x-6}{6}=\frac{y-8}{6}\\MN: x-y+2=0$

Explicație pas cu pas pct b):

Triunghiul MOP (unde O este originea sistemului cartezian xOy) este un triunghi dreptunghic cu OM si OP catete.

Deci, aria sa va fi data de formula:

$A_{\Delta MOP}=\frac{OM*OP}{2}$

Calculam lungimile segmentelor OM si OP:

$OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}=\sqrt{(0-0)^2+(2-0)^2}=2$

$OP=\sqrt{(x_P-x_O)^2+(y_P-y_O)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(5-0)^2}=\sqrt{34}$

Aria va fi:

$A_{\Delta MOP}=\frac{OM*OP}{2}=\frac{2*\sqrt{34}}{2}=\sqrt{34}$