Question

|z|-z=1+2i . sa se afle numarul complex z.

Answer 1

Hello, pentru a rezolva acest exercitiu, trebuie sa stim ce reprezinta z si ce reprezinta modului lui z.

Din definite, cred ca stii deja ca z e un numar complex de forma: z = a + b*i, unde a,b ∈ R, iar $i^{2}$ = - 1, noi numim partea reala termenul real, adica termenul ce nu-l contine pe i, adica a, iar partea imaginara e b, noi scriem z, in loc de a + b*i, pentru comoditate, insa in cazul rezolvarilor de exercitii, de obicei, scriem forma a + b*i.

Acum, modulul este: $\sqrt{ a^{2} + b^{2}}$, daca nu stii de ce, as fi extrem de bucuros sa-ti explic, demonstrarea geometrica e interesanta si simpla in acelasi timp.

Incepem rezolvarea exercitiului, scriind z si |z| in formele prezentate:
$\sqrt{ a^{2} + b^{2}}$ - a - b*i = 1 + 2*i, acum partile reale si imaginare se calculeaza separat:
($\sqrt{ a^{2} + b^{2}}$ - a - 1) - (b + 2)*i = 0.
Acum, observam ca avem un numar complex, unde partea reala e:
$\sqrt{ a^{2} + b^{2}}$ - a - 1, iar cea imaginara:
- (b + 2).
Acum noi avem z = 0, deci un numar complex e 0, definita si practica ne spune ca, daca un numar complex este 0, atunci amandoua, si partea reala, si partea imaginara sunt 0, trecem la sistem:
$\left \{ {{(\sqrt{ a^{2} + b^{2}} - a - 1 = 0)} \atop {- (b + 2) = 0}} \right.$
Il calculam pe b, b = - 2.
Acum inlocuim in prima ecuatie si-l aflam pe a:
$(\sqrt{ a^{2} + 4} - a - 1) = 0$ <=>
$( \sqrt{ a^{2} + 4} = a + 1)$
Deci: $a^{2} + 4 = a^{2} + 2*a + 1$, a = a = 3/2.