Question

z⁶ = 1 - i✓3

z=?????
​

Answer 1

Răspuns:

$z^6=1-i\sqrt{3}=>z=\sqrt[6]{1-i\sqrt{3} }$

$1-i\sqrt{3}$ sub forma trigonometria este $=2(cos\frac{5\pi }{3}+i*sin\frac{5\pi }{3} )$, iar noi vrem sa aflam $\sqrt[6]{2(cos\frac{5\pi }{3}+i*sin\frac{5\pi }{3} )}$

$\sqrt[6]{2(cos\frac{5\pi }{3}+i*sin\frac{5\pi }{3} )}=\sqrt[6]{2}*(cos(\frac{5\pi }{3}*\frac{1}{6})+i*sin(\frac{5\pi }{3}*\frac{1}{6}) )$

$=>z=\sqrt[6]{2}*(cos(\frac{\frac{5\pi }{3}+2k\pi }{6})+i*sin(\frac{\frac{5\pi }{3}+2k\pi }{6}) )$, unde k=0,1,2,3,4,5 (6 solutii :) )

Answer 2

Fie $z=\rho e^{i\theta}$, cu $\rho\in \left(0,+\infty\right)$ și $\theta\in \mathbb{R}$.

Știind că

$1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$, ecuația dată se reduce la

$\rho^6e^{i6\theta}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}.$

De aici avem că

$\rho^6=2$ și $6\theta+\frac{\pi}{3}=2k\pi$ cu $k=0,1,...,5$. Deci

$\rho=2^{\frac{1}{6}}$ și $\theta=\dfrac{-\frac{\pi}{3}+2k\pi}{6}=\dfrac{-\pi+6k\pi}{18}$. Aceste sunt soluțiile problemei tale:

$z_1=\sqrt[6]{2}e^{-i\frac{\pi}{18}}$,

$z_2=\sqrt[6]{2}e^{i\frac{5\pi}{18}}$,

$z_3=\sqrt[6]{2}e^{i\frac{11\pi}{18}}$,

$z_4=\sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{18}}$,

$z_5=\sqrt[6]{2}e^{i\frac{23\pi}{18}}$,

$z_6=\sqrt[6]{2}e^{i\frac{29\pi}{18}}$.