Question

‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎

Answer 1

$X=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\end{array}\right),~~Y=\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)~~~~~~~~~~~det(XY)=?,~~det(YX)=?\\\\XY=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a \cdot a+b\cdot b+c \cdot c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a^2+b^2+c^2\end{array}\right)\\\\det(XY)=\left|\begin{array}{ccc}a^2+b^2+c^2\end{array}\right|=a^2+b^2+c^2$

$YX=\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}a&b&c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a \cdot a&a\cdot b&a \cdot c\\b \cdot a&b \cdot b&b \cdot c\\c \cdot a&c \cdot b&c \cdot c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a^2&ab&ac\\ba&b^2&bc\\ca&cb&c^2\end{array}\right)$

$det(YX)=\left|\begin{array}{ccc}a^2&ab&ac\\ba&b^2&bc\\ca&cb&c^2\end{array}\right|=a^2\cdot b^2\cdot c^2+ac \cdot ba \cdot cb+ab \cdot bc \cdot ca-\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-ac \cdot b^2 \cdot ca-ab \cdot ba \cdot c^2-a^2 \cdot bc \cdot cb=\\\\~~~~~~~~~~~~~=a^2b^2c^2+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2-a^2b^2c^2-a^2b^2c^2-a^2b^2c^2=0\\\\det(XY)=a^2+b^2+c^2\\\\det(YX)=0$