Question

.........................................

Answer 1

$A(4,0);\quad B(0,3)\\ \\ d:\quad x+y = 0 \\ \\ M(a,b)\in d\Rightarrow a+b = 0\Rightarrow a = -b \\ \\ MA^2+MB^2 = (a-4)^2+b^2+a^2+(b-3)^2\\ \\ = (-b-4)^2+b^2+(-b)^2+(b-3)^2 = \\ \\ =(b+4)^2+(b+0)^2+(b+0)^2+(b-3)^2$

Observăm că această expresie este o parabolă.

Centralizăm expresia, iar minimul său va fi chiar în centrul expresiei.

$b = \dfrac{-4+0+0+3}{4} = -\dfrac{1}{4}\\ \\\\ \Rightarrow \Big(-\dfrac{1}{4}+4\Big)^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\Big(-\dfrac{1}{4}-3\Big)^2 = \\ \\\\ = \dfrac{225+2+169}{16}=\dfrac{99}{4}$

=> A) corect

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

M(x,y)∈d ⇒ x+y=0 ⇒ y=-x

MA²+MB²=(4-x)²+(0-y)²+(0-x)²+(3-y)²=

=(4-x)²+(0+x)²+(0-x)²+(3+x)²=4x²-2x+25

= o functie de gradul II in x care are un minim -Δ/4a pentru x=-b/2a, unde a=4, b=-2, c=25

Δ=b²-4ac=4-400=-396

min(MA²+MB²)=-Δ/4a=99/4