Question

........................​

Answer 1

Observăm un indiciu destul de mare dacă începem mai degrabă de la sfârșit, decât de la începutul secvenței. Primii termeni nu prezintă niciun model recunoscut, dar ultimele sume sunt destul de interesante.

$a_{n} = a_{n-1}+(100-n)^2\cdot a_{n-2}$

$a_{100} =a_{99}+0\cdot a_{98} \Rightarrow a_{100} = a_{99}$

$a_{99}=a_{98}+a_{97} =a_{97}+2^2 a_{96}+a_{97} =$

$=2(a_{97}+2a_{96})$

$a_{99}=2(a_{96}+3^2a_{95}+2_{a_{96}})=2\cdot 3\cdot (a_{96}+3a_{95})=$

$=3!\cdot(a_{99-3}+3\cdot a_{98-3})$

Putem deduce că:

$a_{99}=k!(a_{99-k}+ka_{98-k})$

Pentru $k=99$ avem:

$a_{99} = 99!(1+0\cdot a_{-1}) \Rightarrow a_{99} = 99! \Rightarrow a_{100} = 99!$

Verificăm dacă relația este adevărată prin inducție.

Am demonstrat anterior că este adevărată pentru $k=1$, iar dacă e adevărată și pentru alți $k$ atunci:

$a_{99-k} = a_{98-k}+\big(100-(99-k) \big)^2a_{97-k}$

$a_{99} = k!\Big(a_{98-k}+\big(100-(99-k)\big)^2 a_{97-k}+ka_{98-k}\Big)$

$=k!\big((k+1)a_{98-k}+(k+1)^2a_{97-k}\big)$

$=\left(k+1\right)!\left(a_{99-(k+1)}+(k+1)a_{98-(k+1)}\right)$

Deci, este adevărată oricare ar fi $k$ pentru care expresia este bine definită.