Question

1×2×3×...×21 demonstrati ca nu este patrat perfect

Answer 1

Pai demonstrati este asa:
Daca era suma astfel:1 ori 2 ori 3.......ori 21 +7 puteai sa faci  cu ultima cifra si iti dadea ca ultima cifra este 7 si nu e patrat perfect deoarece ultimile cifre ale patratului perfect sunt:0,1,4,5,6,9
Dar la sumele de genul asta faci astfel:
Daca cel mai mare numar mai mic decat 21(fiind 20) se gaseste in aceasta suma atunci suma aceea este patrat perfect(mereu) dar nu se mai gaseste deci suma nu este patrat perfect

Answer 2

Pentru ca un nr sa fie patrat perfect, trebuie ca in descompunerea in factori primi a acelui nr sa apara numai puteri pare (adica nr prime p la puterea 2k si le vom scrie apoi ca $( p^{k} )^{2}$).

Sa ne uitam, pentru simplitate, la puterea lui 11 in produsul nostru:
1*2*3*4*5*6*7*8*....*10*11*12*13*14*15*....*20*21 are 11 o singura data (la fel este si cazul lui 13, 17, 19, pentru ca intre 1 si 21 nu mai avem alti multipli de 11, respectiv 13, 17, 19). Deci rezultatul nu se poate scrie ca produs de puteri pare de nr prime, deci nu este patrat perfect.