Question

1^2018+2^2018+3^2018+...+2018^2018+2^2 sa se arate ca nu este pătrat perfect

Answer 1

exercitiu este corect, dar destul de complex
-mai intai fixam cateva informatii legate de ultima cifra a unui numar ce se ridica la putere
EX. 23 la puterea 1 se termina in 3
        23 la puterea a doua se termina in 9
        23 la puterea a treia se termina in 7
        23 la puterea a patra se termina in 1
         23 la puterea a cincea se termina in3...
Observam pe acest exemplu ca  un numar care se termina in 3 ridicat la o putere de forma 4k se termina in3, la puteri de forma 4k+1 se termina in 9, la puteri de forma 4k+2 se termina cu 7 si la puteri de forma 4k+3 se termina in 1.
-bineinteles ca orice numar natural se poate scrie sub una din cele 4 forme.In cazul nostru puterea 2018=4*504+2= 4*k+2 (unde k=504)
-deci toate numerele care se termina in 3 (3, 13, 23....2013) ridicate la puterea 2018 se termina in 9.
Dupa ce am facut aceasta teorie pentru numerele care se termina in cifra 3 putem dezvolta logica pentru orice numar natural

cifra in care se termina  putere de forma     4k       4k+1      4k+2       4k+3
                  1                                                       1           1             1              1
                   2                                                       2           4             8              6
                  3                                                       3           9              7              1
                  4                                                       4           6               4             6
                   5                                                       5          5              5              5
                  6                                                        6          6              6              6
                   7                                                        7         9               3             1
                  8                                                        8          4              2                6
                   9                                                      9           1             9              1
                   0                                                         0         0             0              0
Acum vom tine cont ca 2018 este o putere de forma 4k+2, deci vom cauta pe coloana a treia
grupam suma in grupe de cate 10
(1^2018+2^2018+3^2018+...+9^2018+10^2018)+(11^2018+12^2018+...+20^2018)+... +(2011^2018+2012^2018+...+2018^2018)+2^2
suma din fiecare grupa intreaga se va termina cu cifra 1   (adun terminatiile de pe coloana a treia a tabelului anterior!     1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=41)
 Avem 201 grupe intregi a caror suma se termina in 1 deci pe total suma de la 1^2018 pana la 2010^2018 se termina in ultima cifra a lui 201, deci in cifra 1.
-ultima grupa fiind incompleta o calculam separat( avem puteri pentru numere ce se termina in 1, 2...8 deci suma va avea la sfarsit cifra lui 41-9=32, deci cifra 2
Acum putem deduce ca doar suma puterilor de la !^2018 pana la 2018^2018 se termina in 1+2=3
totodata 2^2 se termina in 4, deci in final suma totala se termina in 7
Aceasta concluzie este suficienta pentru a deduce ca suma nu poate fi patrat perfect, deoarece nu exista nici un patrat perfect care sa se termine in cifra 7 (vezi din nou tabelul unde observi ca in orice cifra s-ar termina un numar si la orice fel de putere il ridici nu apare cifra 7.
Daca doresti s a aprofundezi astfel de probleme, trebuie sa ai in vedere aceasta teorie expusa de mine
Succes!