Question

1+3⁴+3⁸+3¹²+3¹⁶ este divizibil cu 5
​

Answer 1

$u(1+3^4+3^8+3^{12}+3^{16})=1+1+1+1+1=5 \Rightarrow (1+3^4+3^8+3^{12}+3^{16}) \vdots 5$

Answer 2

Răspuns:

ultima cifră a numărului 1 + 3⁴ + 3⁸ + 3¹² + 3¹⁶ = 5, deci numărul este divizibil cu 5.

Explicație pas cu pas:

Problema se rezolvă cu ajutorul ultimei cifre.

Analizăm ultima cifră a lui 3ⁿ

u.c. 3¹ = 3

u.c. 3² = 9 (pentru că 3 × 3 = 9)

u.c. 3³ = 7 (pentru că 9 × 3 = 27)

u.c. 3⁴ = 1 (pentru că 7 × 3 = 21)

u.c. 3⁵ = 3  

...................................................

Se observă că ultima cifră a lui 3ⁿ se repetă din 4 în 4 astfel:

dacă n = 4k+1 ⇒ u.c. 3ⁿ = 3

dacă n = 4k+2 ⇒ u.c. 3ⁿ = 9

dacă n = 4k+3 ⇒ u.c. 3ⁿ = 7

dacă n = 4k ⇒ u.c. 3ⁿ = 1

Acum analizăm numărul: observăm că el conține 5 termeni, dintre care 4 sunt 3ⁿ, unde n are forma 4k (adică n este multiplu al lui 4). Atunci fiecare dintre cei 4 termeni are ultima cifră 1.

Ultima cifră a numărului este:

1 + u.c. 3⁴ + u.c. 3⁸ + u.c. 3¹² + u.c. 3¹⁶ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 - adică numărul este divizibil cu 5.