Question

1.a)Aratati ca 1+2+2^2+......+2^2015=2^2016-1
b)determinati ca 14+2^2016 este multiplu de 15
2.Aflati toate nr de forma ab si xyz astfel incat ab x (x^2+y^2+z^2)=1x2x19x53

Answer 1

In general:$1+a+a^2+...+a^n= \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

$14+2^{2016}\equiv-1+1=0\pmod{15}$
*Din teorema lui Euler avem $2^{\phi(15)}\equiv1\pmod{15}$,$\phi(15)=8$

Answer 2

1. a)  S = 1 + 2 + 2² + .......+2^2015        2S = 2+ 2² +2³ +.........+2^2016
2S - S = S = 2^2016 - 1
b)  14 + 2^2016 = 14 + S +1 = !5 + S
S = (1+2+4+8) + 2^4 ·(1+2+4+8) +..........+ 2^2012 ·(1+2+4+8) =
= 15·(1+2^4 +......+2^2012)
b = 15 +15(1+2^4 +.......+2^2012) = 15( 1+1+2^4 +.......+2^2012) = divizibil prin 15
2.  ab·(x² +y² +z²)= 1·2·19·53
53 = 1+16+36    x=1  y = 4   z=6    xyz =146   ab = 38   xyz mai poate fi =
= 164, 461, 416, 641, 614  (total 6 valori )                                                               38 = 2² +3 ² +5²   xyz = 234    ab = 53                                                                                xyz = 243 sau 342 sau 324,sau 423 sau 432   (inca 6 valori) ab = 53