Question

1.
a)Cate numere de forma abcab ( cu bara deasupra) sunt divizibile cu 7 ?
b) Exista numere de forma abcab (cu bara deasupra ) divizibile cu 11?

2.
Determina cel mai mic numar natural divizibil cu :
a) 2,3,4,5,6 si 7
b) 2,3,4,5,6,7,8,9,10 si 11

Answer 1

10000a+1000b+100c+10a+b=10010a+1001b+100c=1001(10a+b)+100c
1001=7*143 deci 1001(10a+b) este divizibil cu 7
 a poate lua 9 valori si b poate lua 10 valori deci 90de numere de forma 1001(10a+b) sunt divizible cu 7

100c este necesar ca si el sa fie divizibil cu 7
c poate lua doar doua valori 0 si 7
aceste valori sunt independentede combinata 10a+b

alter variante (cu resturi care insumate sa dea 7) nu sunt , deoarece 1001(10a+b) e divizibil cu 7 deci primul rest e 0, obligatoriu si al doilea este 0, adica 100c divizibil cu7, ceea ce am analizat

deci in total
90*2=180 der numere de forma abcab sunt divizibile cu 7




abcab=1001(10a+b)+100c
ne-a intrebat daca exista

1001 nu e divizibil cu 11 si 100c, daca ce nu e 0, sigur nu e divizibil cu 11, pt ca c e cifra si100nu e divizibil cu 11
asa ca vom pune conditia c=0, in acest caz 100c =0, divizibil cu 11
si 1001(10a+b) divizibil cu 11
 cum1001 nu e divizibil cu11,
avem 10a+b dibizibil cu 11
de ex pt a=1 b=1 si c=0 este un astfelde numar pt ca 10a+b=11
a=2 b=2 c=0 alt numar, 10a+b=22
a=3 b=3 c=0
...............
a=9 b=9 c=0
deci da exista cel putin 9  numere abcab divizibile cu 11
posibil sa existe si altele care descompuse sa dea resturi care insumate sa  dea 11, deci per total sa fie divizibile cu 11,dar NU NI S-A CERUT sa aflam TOATE numerele; deci am indeplinit cerinta problemei

verificare
11011:11=1001
si logic toti multiplii lui cu 2,3..9 sunmt divizibili cu 11



exe 2

a 2 vom specula faptul ca nu a zis numar natural nenul asa ca cellmai mic numar natural care se imparte la alea toate este...0, pt ca 0∈N se imparte exact la orice numar natural, mai putin 0