Question

1)ABCD este dreptunghi cu perimetrul de 50cm,iar latimea este de 1/4 din lungime.CP/PA=2/3.P∈(AC),PM//AB,M∈(BC)si PN//AD,N∈(DC)
Calculeaza lungimea segmentului AB.
Afla aria patrulaterului CNPM
DEtermina cat la suta reprezinta aria lui CNPM
2)In paralelogramul ABCD,DF_|_ACsi BE_|_AC
Completeaza desenul cu DE si BF.
Demonstreaza ca triunghiul AFD= cu triunghiul CEB
Arata ca patrulaterul DFBE este paralelogram.
Ajutor va rog!

Answer 1

Calculeaza lungimea segmentului AB.
Dac P ABCD=50
iar BC/AB=1/4 + AB=4BC
=> 2*(AB+BC)=2*(4BC+BC)=2*5BC=10BC=500
BC=50
AB=4*50=200

CP/CA=2/3 ⇒
3CP=2CA=2(CA-CP)
3CP=2CA-2CP⇒
5CP=2CA⇒
CP/CA=2/5

In ΔCDA avem:
CP/CA=2/5=NP/AD=NP/50
NP=50*2/5=20

in ΔCAB, avem:
CP/CA=2/5=PM/AB=PM/200
PM=200*2/5=80

Aria patrulaterului CNPM=NP*PM=20*80=1600 cm²

Aria ABCD=AB*BC=200*50=10 000 cm²

Determina cat la suta reprezinta aria lui CNPM
1600*100/10000= 16%

2)Stim ca DF_|_AC si BE_|_AC
Deoarece ABCD este paralelogram => ΔADC≡ΔACB =>
<DAC=<BCA  pt ca DA||CB si DC||AB
In plus, Aria ΔADC≡Aria ΔACB => DF*AC/2=BF*AC/2
DF=BE

Comparam Δ  AFDcu Δ CEB
DFA=CEb=90
DA=CB
DF=BE
DAC=<BCA
⇒Δ  AFD≡ Δ CEB


Deoarece DF si BE sunt perpendiculare pe AC => DF||BE,
si am demonstrat ca DF=BE


Conform teoremie prin care :
Dacă într-un patrulater convex două laturi opuse sunt paralele și congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.


⇒ patrulaterul DFBE este paralelogram.

Daca vrem sa demonstram ca si celelalte 2 laturi sunt egale:
Comparam ΔAFB cu ΔCED
<FAB=<ECD, ele apartinand triunghiurilor ΔADC≡ΔACB
si AB≡DC (din paralelogramull ABCD)
AF=EC ( am demonstrat ca Δ  AFD≡ Δ CEB)
⇒ΔAFB cu ΔCED ⇒FB≡DE