Question

1) Aflați cel mai mic nr natural care împărțit la numerele 15, 30, 45 da de fiecare data un cât diferit de 0 și restul 13.
2) Dacă x € R* , astfel încât x + 1 supra x = 4, atunci aflați valoarea sumei x pătrat + 1 supra x pătrat
3) Într-un bloc sunt 18 apartamente cu doua sau trei camere , în total 42 de camere . Cate apartamente cu doua camere sunt în bloc ? Va rog!

Answer 1

1).
=>  n - 13 = M₁₅=M₃₀=M₄₅  inseamna ca n-13 = [15;30;45] =90  =>  n=103
      verificare:   103 : 15 = 6 (r. 13) ; 103 : 30 = 3 (r. 13) si  103 : 45 = 2 (r. 13) ;
2).  
       daca x + 1/x = 4 ridicam la patrat ambele parti al egalitatii ...
       x² +2 * x * 1/x + (1/x)² = 4² => x² + 1/x² =16-2=14 ;
3).
       x=nr.ap. cu 2 camere ;   y=nr.ap. cu 3 camere ;
       ⇒ x+y=18   adica  x=18-y     =>   2(18-y) + 3y = 42 => 36-2y+3y=42  
                                deci y = 6     si    x= 12
  

Answer 2

1) Notam cu n-numarul cautat
c1, c2, c3=caturile nenule ale impartirii lui n la 15, 30, respectiv 45

Aplicam Teorema impartirii cu rest:
n=15*c1+13
n=30*c2+13
n=45*c3+13

Observam ca:
n-13=15*c1
n-13=30*c2
n-13=45*c3

Cum n se cerea fi cel mai mic, inseamna ca si n-13 este cel mai mic numar care este simultan multiplu de 15, 30 si 45, adica cel mai mic multiplu comun al lui 15, 30 si 45.
n-13=[15;30;45]=90
n=103

2) x+$\frac{1}{x}$=4 si ridicam la patrat ambii membri:

$(x+ \frac{1}{x} )^{2}$=16

$x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } +2*x* \frac{1}{x}$=16

$x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } +2$=16

$x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }$=16-2=14

3) Notam cu n=numarul de etaje din bloc
d=numarul apartamentelor cu 2 camere de pe un etaj
t=numarul apartamentelor cu 3 camere de pe un etaj

n(d+t)=18 apartamente
n(2d+3t)=42 camere

Observam ca n este divizor comun al lui 18 si 42 si n>1 deoarece fiind vorba despre un bloc, el va avea cel putin doua nivele. Deci n∈{2, 3, 6}
Analizam, pe rand, cazurile:

Daca n=6:
d+t=3, deci t=3-d
2d+3t=7 si inlocuim t de mai sus:

2d+3(3-d)=7
9-d=7
d=2 apartamente cu 2 camere pe etaj, deci n*d=6*2=12 apartamente cu 2 camere sunt in total

18-12=6 apartamente cu 3 camere sunt in total

Analog se procedeaza pentru cazurile n=3 sau n=2.