Question

1. Aflați, în fiecare caz, numerele la care se împart cu rest zero simultan:
a) 8 și 12;
b) 15 și 21;
c) 30 și 42.

2. Efectuați împărțirea lui
(24²+2ori 13+7) la (3⁴+56⁰-225:15)

3. Câte numere naturale de trei cifre împărțite la 37 dau restul 13.
Soluție. Cum 37ori 2+13=87, iar 37ori 3+13=111+13=124, cel mai mic număr cu proprietatea din enunț este 124. Apoi, cel mai mare este 37ori 26+13=962+13=975.
De la 3 la 26 sunt:

4. Aflați toate numerele de forma 23ab linie sus care se împart cu rest 0 la 42.
Indicație. Numerele de forma 23ab linie sus sunt cuprinse între 2300 și 2399.

5. Determinați toate numerele de forma 51ab linie sus care se împart cu rest 0 la 21.

6. Suma a două numere este 182. Determinați cele două numere știind că împărțind pe unul din ele la celălalt se obține câtul 5 și restul 8.

7. Aflați, în fiecare caz, numărul necunoscut:
a) (5ori y+7):24=13
b) 236:(7ori z-3)=59

8. Suma a trei numere naturale consecutive se împarte la 7 și obținem câtul 24 și restul 6. Determinați numerele.

9. Suma a trei numere naturale este 243. Împărțind primul număr la al treilea obținem câtul 12 și restul 7, iar împărțind al doilea număr la al treilea obținem câtul 5 și restul 2. Determinați cele trei numere.

10. Aflați numerele naturale care împărțite la 37 dau restul egal cu câtul.

Vă rog să scrieți cum am scris eu, ordonat și cu cerințele!!!

Answer 1

1. Aflați, în fiecare caz, numerele la care se împart cu rest zero simultan:
a) 8 și 12;
b) 15 și 21;
c) 30 și 42.
Descompunem in factori primi
Rezolvare:
a) 
8 = 2³
12 = 2² * 3
cmmdc = 2² = 4

b)
15 = 3 * 5
21 = 3 * 7
cmmdc = 3

c)
30 = 2 * 3 * 5
42 = 2 * 3 * 7
cmmdc = 2 * 3 = 6

2. Efectuați împărțirea lui
(24²+2ori 13+1) la (3⁴+56⁰-225:15)

(24² + 2 * 13 + 1) / (3⁴ + 56⁰ - 225:15) = (576 + 26 + 7) : (81 + 1 - 15) =
= (602 + 1) : (82 - 15) = 603 : 67 = 9

3. Câte numere naturale de trei cifre împărțite la 37 dau restul 13.
Soluție. Cum 37ori 2+13=87, iar 37ori 3+13=111+13=124, cel mai mic număr cu proprietatea din enunț este 124. Apoi, cel mai mare este 37ori 26+13=962+13=975.
De la 3 la 26 sunt:
26 - 3 + 1 = 23 + 1 = 24

4. Aflați toate numerele de forma 23ab linie sus care se împart cu rest 0 la 42.
Indicație. Numerele de forma 23ab linie sus sunt cuprinse între 2300 și 2399.
2300 : 42 = 54 rest rest 32
=> 2300 + (42 -32) = 2310 este cel mai mic numar de forma 23ab divizibil cu 42.
Acum numaram din 42 in 42
2310 : 42 = 55
2352 : 42 = 56
2394 : 42 = 57
=> Numerele sunt: 2310; 2352; 2394

5. Determinați toate numerele de forma 51ab linie sus care se împart cu rest 0 la 21.
5100 : 21 = 242 rest 18
=> 5100 + (21 - 18) = 5103 este cel mai mic numar de forma 51ab divizibil cu 21
Acum numaram din 21 in 21
5103 : 21 = 243
5124 : 21 = 244
5145 : 21 = 245
5166 : 21 = 246
5187 : 21 = 247
.
6. Suma a două numere este 182. Determinați cele două numere știind că împărțind pe unul din ele la celălalt se obține câtul 5 și restul 8.
x + y = 182
x : y = 5 rest 8
-------
x + y = 182
x = 5y + 8
-------
x + y = 182
x - 5y = 8
------------------ Din prima ecuatie o scadem pe a doua si scapam de x
/    6y = 174
y = 174 / 6 = 29
x = 182 - 29 = 153
=> x = 153  si y = 29

7. Aflați, în fiecare caz, numărul necunoscut:
a) (5ori y+7):24=13
b) 236:(7ori z-3)=59

a)
(5y+7):24=13
5y + 7 = 13 * 24
5y = 13 * 24 - 7
y = (13 * 24 - 7) / 5 = (312 - 7) / 5 = 305 / 5 = 61
y = 61

b)
236 : (7z - 3) = 59
7z -3 = 236 / 59
7z - 3 = 4
7z = 4 + 3
z = (4 + 3) / 7 = 7 / 7 = 1
z = 1

8. Suma a trei numere naturale consecutive se împarte la 7 și obținem câtul 24 și restul 6. Determinați numerele.

S = suma numerelor
S = 24 * 7 + 6 = 168 + 6 = 174
Suma a 3 numere consecutive ese egala cu triplul numarului mijlociu.
174 / 3 = 58
=> numerele sunt:  57; 58; 59

9. Suma a trei numere naturale este 243. Împărțind primul număr la al treilea obținem câtul 12 și restul 7, iar împărțind al doilea număr la al treilea obținem câtul 5 și restul 2. Determinați cele trei numere.

x + y + z = 243
x : z = 12 rest 7
y : z = 5 rest 2
-------
x + y + z = 243
x = 12z + 7
y = 5z + 2
-------
x +   y     + z = 243
x          - 12z = 7
       y   -  5z = 2
-------------------------- Din prima ecuatie o scad pe a 2-a si scapam de x
/     y    + 13z = 236  
      y     -   5z = 2
---------------------------Din prima ecuatie o scadem pe a doua si scapam de y
     /         18z = 234
z = 234 / 18 = 13
z = 13

y - 5z = 2
y = 5 * 13 + 2 = 65 + 2 = 67
y = 67

x - 12z = 7
x = 12 * 13 + 7 =  163
x = 163

10. Aflați numerele naturale care împărțite la 37 dau restul egal cu câtul.
0 ≤ Restul < impartitorul
=> multimea resturilor posibile este {0; 1; 2; 3; 4; .......36}
In total sunt 37 de resturi posibile
=> 37 numere care impartit la 37 dau catul = restul

0 : 37 = 0 rest 0
38 : 37 = 1 rest 1
76 : 37 = 2 rest 2
114 : 37 = 3 rest 3
Observam ca deimpartitii sunt numere obtinute numarand  din 38 in 38.
Cel mai mare numar este:
37 * 36 + 36 = 1332 + 36 = 1368
Numerele sunt {n  l   n = 38k  l   0 ≤ k ≤ 36  l   k ∈ N }