Question

1)Aflati toate nr natural care impartite la 4 dau catul egal cu restul
2)Aflati toate nr natural de 2 cifre,astfel incat suma dintre nr si rasturnatul sau este patrat perfect

dau 20 de puncte

Answer 1

Rezolvarea a fost adaugata mai jos 

Answer 2

Notez: D = deîmpărţit;
            î  = împărţitor
            c  = cât
            r = rest


I. D: 4 = c ( r)           D: 4 = c ( r) 
    c= r
  __________           D = c·î + r , r < î
    D = ?
                                 D = c·4 + r , r < 4

                                                     r∈ { 0; 1; 2; 3.}

1. pt. r= 0 , c= 0 ⇒    D = c·4 + r 
 
                                 D = 0·4+ 0
 
                                 D₁ = 0

2. pt. r= 1 , c= 1 ⇒    D = c·4 + r 
 
                                 D = 1·4+ 1
 
                                 D₂ = 5

3. pt. r= 2 , c= 2 ⇒    D = c·4 + r 
 
                                 D = 2·4+ 2
 
                                 D₃ = 10

4. pt. r= 3 , c= 3 ⇒    D = c·4 + r 
 
                                 D = 3·4+ 3
 
                                 D₄ = 15

II. ___
     ZU = ?                     ZU + UZ = pp
    __        __
    ZU +    UZ = pp        10Z+ 1U+ 10U+1Z=pp
                 
                                    10( Z+ U)+ 1(U+ Z) =pp
 
                                    (Z+ U) (10+ 1) = pp
 
                                           ( Z+ U)·11= pp

                                    __
Observaţie !      pp ⇒ZU = 121; 144; 169 ... 9 801.

 
1.  ( Z+ U)·11= 121
               
       Z+ U      = 121: 11
 
       Z+ U      = 11         ⇒ Z =  2 ⇒   29 + 92= 121
                                         U = 9

                                    ⇒  Z =  3 ⇒   38 + 83= 121
                                         U =  8
 
                                    ⇒  Z =  4 ⇒   47 + 74= 121
                                         U =  7
                                      
                                    ⇒  Z =  5 ⇒   56 + 65= 121
                                         U =  6

__
ZU =29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92

Observaţie! Chiar dacă mai sunt pp. care se împart la 11, cifrele
                   adunate nu pot da celălalt factor.
    
                   ex. 1.  ( Z+ U)·11= 9 801
               
                               Z+ U      = 9 801: 11
 
                               Z+ U      =  691  ?
 
                               Z+ U      ≠  691  , Z şi U = cifre!