Question

1. Aratati ca dacă b > c atunci 9 | (abc-acb)

2. Demonstrati ca numarul a=2 la puterea 2013 + 3 la puterea 2013 e divizibil cu 5

3. Demonstrati ca nr a=6 la puterea n -1 este multiplu de 5, pentru orice n E N

4. Aratati ca (2 la puterea n+2 + 2 la puterea n) | ( 4 la puterea n+1 + 4 la puterea n), pentru orice n E N

5. Demonstrați ca (10 la puterea n+1 - 10 la puterea n) se divide cu (5 la puterea n+1 + 4 • 5 la puterea n) pentru orice n E N

6. Aratati ca 2 | ( 1 la puterea n + 2 la puterea n + 3 la puterea n ) pentru orice n E N*

7. Demonstrați ca (1 la puterea n + 2 la puterea n + 3 la puterea n + 4 la puterea n) se divide cu 10 pentru orice n E N , n nu se divide cu 4

8. A) Aflati cate numere de forma 2ab se divid cu 5

B) Aflati cate numere de forma 3abc sunt divizibile cu 4

C) Aflați cate nr de forma 4abcd sunt multipli de 23

D) Aflati cate nr de forma 5abcde se divid cu 491

PLZ AJUTATIMA DAU 5 STELE + 16 PUNCTE + CEL MAI BUN RASPUNS + MULTUMESC

Answer 1

1. abc - acb = 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 9b - 9c = 9(b-c) = divizibil cu 9
2.  n = 2^2013 + 3^2013    Uc(2^2013) = 2  Uc(3^2013) = 3  Uc(n) = 5    5 | n
3.  a = 6^n - 1  Uc(6^n) = 6  Uc(a) = 5    a = multiplu de 5 pentru n>1
4.   [4^(n+1)+ 4^n] / [2^(n+2) + 2^n] = 5·4^n / 5·2^n = 2^2n / 2^n = 2^n ∈N
5.  [10^(n+1) - 10^n] /[5^(n+1) - 4·5^n] = 9·10^n / 5^n = 9·2^n ·5^n / 5^n = 9·2^n ∈N
6. 1^n + 2^n + 3^n = nr. par, divizibil cu 2
7.  a = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n             Uc(1^n) =1  Uc(2^n) ∈ {2,4,8,}
Uc(3^n) ∈ {3,9,7,}    Uc(4^n) ∈ {4,6} ⇒ Uc(a) = 0 ⇒ a = divizibil cu 10
8.  A.  b ∈{0,5}  a ∈{0,1,2,3....9}    2·10 = 20 numere
B.  a ∈ { 0,1,2,....9}  ( 10 valori)    b,c = 00, 04,08, 12, 16,20,24,28,32,36,40 44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96  (25 valori)  10·25 = 250 numere
C.  40000 = 23·1739 + 3  | +20      40020 = 23·1740 = cel mai mic nr.
49999 = 23·2173 +20 | -20       49979 = 23·2173 = cel mai mare nr.
2173 - 1740 + 1 = 434 numere
D.  500000 = 491·1018 + 162  | + 329     500329 = 491·1019
599999 = 491 ·1221 + 488    | - 488      599511 = 491 ·1221
1221 - 1019 + 1 = 203 numere