Question

1.Aratati ca nr. 3+3²+3³+....+3^{123} se divide cu 13
2.Determinati cifrele nr. A= 2·10^(n+2)+10^n+3·10^(n-3)-1 si specificati cate cifre sunt din fiecare.Parantezele= se iau impreuna
MULTUMESC!

Answer 1

1.Se grupeaza termenii:
(3+3²+3³) + (3^4+3^5+3^6)+...+(3^121+3^122+3^123)
Dam factor comun pe 3
3(1+3+3²) + 3^4(1+3+3²) + 3^121(1+3+3²) 
 1 + 3 + 3² = 1 + 3 + 9 = 13 
3 * 13 + 3^14 * 13 + ... + 3^121 * 13 
 De aici, dam factor comun  pe 13: 
13*(3 + 3^4 + ... + 3^121) 
Adica se diivide cu 13.

2.A = 2·10^(n+2) + 10^(n+3) ·10^(n-3) -1 = 2·10^(n+2) + 10^2n - 1 = 
2·10^(n+2) = 2000000_________00         
10^2n = 10000_________00                  
cifre = =1000_______000  +
           2000_____000
------------------------
100.___200____000 - 1 = 99_____919.____999  = A 
A are 2n cifre , din care,( 2n-1) cifre 9 si o cifra 1