Question

1)Aratati ca nr. 9x(5+10+15+...+200):41 este patrat perfect.
2)Aflati nr. naturale care impartite la 9 dau catul si restul doua nr. naturale consecutive(catul mai mic decat restul).
3)Aflati cel mai mic nr.de trei cifre care se imparte cu rest 0 la 29.
4)Aflati cel mai mare nr. de trei cifre care se imparte cu rest 0 la 29.
5)Aflati cate nr. de trei cifre se impart cu rest 0 la 29.

Answer 1

9x(5+10+15+...+200):41
9 x 5(1+2+3...+40) : 41 (am dat factor comun)
45 (1+2+3+...+40) :41
cum 1+2+3+...+n= $\frac{n(n+1)}{2}$
n=40, deci
1+2+3+...+n= 40 x 41 :2
deci numarul este:
45 x 40 x 41 : 2 : 41 (se simplifica x 41 cu : 41)
45 x 40 : 2
Descompunem
3 x 3 x 5 x 2 x 2 x 2 x 5 :2
3² x 5² x 2²= 30² care este pătrat perfect
3) 100 : 29 = 3 (rest 13)
29-13= 16. Deci cel mai mic număr este 100+ 16=116
4) 999 : 29= 34 ( rest 13)
Deci cel mai mare număr este 999-13= 986
5)Există doar 34-3= 31 de numere care respectă condiția.

Answer 2

1. 9*5(1+2+3+.....40):41= 9*5*[40*41/2] : 41=9*5*20*41:41=45*20=900=30^2
2. x : 9=a rest (a-1) cu a-1 < 9 ⇒ x= 9*a + a - 1
dau valori lui a si inlocuiesc in relatia de mai sus
a=8 ⇒  x=9*8+7=79
a=7 ⇒ x=9*7+6=69
a=6 ⇒ x=9*6+5=59
a=5 ⇒ x=9*5+4=49
...............................
a=1 ⇒ x=9*1+0=9
numerele sunt: 79,69,59,49,39,29,19,9
3. x>99
    100 : 29 =3 rest 13  ⇒ 100=29*3+13 
    adun nr 16 la relatia de mai sus (16 = 29 - 13)
    116= 29*3+29=29*4
4. x < 1000
    999 : 29 = 34 rest 13 ⇒ 999= 29* 34 + 13 
    scad 13 si obtin
    986= 29*34