Question

1 Aratati ca nr :$3^{1981} + 4^{1981} + 5^{1981} + 6^{1981} nu este p.p$
2.Aratati ca nr :$25 ^{47} *49^{17}$ este patrat perfect.(p.p)

Answer 1

$3^{1981}+4^{1981}+5^{1981}+6^{1981}$
ultima cifra a lui $3^{1981}$ este 3 
1981:4 =495 rest 1
ultima cifra a lui $4^{1981}$ este 4
ultima cifra a lui $5^{1981}$ este 5
ultima cifra a lui $6^{1981}$ este 6
Adunand ultimele cifre ale celor 4 numere obtinem ultima cifra 8 pentru ca 3+8+5+6=18
un numar ce are ultima cifra 8, nu este p.p.

$25^{47} * 49^{17} = 5^{2*47} * 7^{2*17}= (5^{47})^2 * (7^{17})^2=(5^{47}*7^{17})^2$   este p.p

Answer 2

/=supra
^=putere
+=plus
*=inmultit
1)
ultima cifra a numarului 3^1981=
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
puterile lui 3 se termina in: 3,9,7,8 vor fi seturi de cate 4.
31981/3=10660 rest 1
ultima cifra este 3.
ultima cifra a numarului: 4^1981=
4^1=4
4^2=16
4^3=64
4^4=256
puterile lui 4 se termina in: 4,6 vor fi seturi de cate 2.
1981/2=990 rest 1
ultima cifra este 4.
ultima cifra a numarului 5^1981=
5^1=5
5^2=25
5^3=125
puterile lui 5 se termina in: 5 vor fi set de cate 1.
de aici iti dai seama ca ultima cifra a numarului 5^1981 este 5.
ultima cifra a numarului 6^1981=
6^1=6
6^2=36
6^3=216
puterile lui 6 se termina in: 6 vor fi set de cate 1.
de aici iti dai seama ca ultima cifra a numarului 6^1981 se termina 6.
ultima cifra a numarului 3^1981+4^1981+5^1981+6^1981=3+4+5+6=18.
Insa aici mai e o smecherie:
ultima cifra a lui 18 este 8.
numarul nu poate fi patrat perfect pentru ca se termina in 8.
2)
modul 1:
25^47*49*17=(5^2)^47*(7^2)^17=(5^47)^2*(7^17)^2=(5^2*7^17)^2⇒patrat perfect
modul 2:
Deoarece numerele 25 si 49 sunt patrate perfecte deducem ca produsul puterilor lor este patrat perfect.