Question

Vreau si eu REPEDEE raspunsul la exercitiile astea. Dau coroana si 35 de puncte .
b. Aratati ca A=3^{0}+3^{1}+3^{2}+...+3^{44} este divizibil cu 13.
c. Aratati ca A=2^{2}+2^{4}+2^{6}+...+2^{30} este divizibil cu 20.
d. Aratati ca A=1+5^{2}+5^{4}+...+5^{34} este divizibil cu 26.
e. Aratati ca A=7+7^{2}+7^{3}+...+7^{100} este divizibil cu 50.
f. Aratati ca A=1+6+6^{2}+...+6^{101} este divizibil cu 7*37*43

Answer 1

b) A=3⁰+3¹+3²+...+3⁴⁴ este divizibil cu 13
A= (3⁰+3¹+3²)+3³(3⁰+3¹+3²)+.......3⁴²(3⁰+3¹+3²)=13+3³×13+....3⁴² ×13=13(1+3³+.....3⁴²)  
  care divizibil cu 13

c)A=2²(2⁰+2²+2⁴+2⁶...+2²⁶+2²⁸)=2²[(2⁰+2²)+2⁴(2⁰+2²)+...+2²⁶(2⁰+2²)]=
2²(5+2⁴ ×5+...+2²⁶×5)=2²×5(1++2⁴+......+2²⁶)=4×5(1++2⁴+......+2²⁶)=
=20(1++2⁴+......+2²⁶)  care e divizibil cu 20

d) A=1+5^2)+5^4(1+5^2)+5^8(1+5^2)+........+5^32(1+5^2)=26+5^4*26+5^8*26+....5^32*26=26(1+56^4+5^8+....+5^32) care e divizibil cu 26

e)  A=7+7²+7³+........+7¹⁰⁰ =7(7⁰+7²)+7²(7⁰+7²)+.......7⁹⁸(7⁰+7²)=
=7×49+7²×49+.......7⁹⁸×49
49(7+7²+.......+7⁹⁸)  care e divizibil cu 50

f) 
A = (6⁰+6¹)+(6²+6³)+(6⁴+6⁵)+ ........+(6¹⁰⁰+6¹⁰¹)=(6⁰+6¹)+6²(6⁰+6¹)+6⁴(6⁰+6¹)+ ...+6¹⁰⁰(6⁰+6¹)=(6+6¹)(1+6²+6⁴+ ............+6¹⁰⁰) = 7(1+ 6²+6⁴+.....+6¹⁰⁰)   este divizibil cu 7
A = (6⁰+ 6¹+6²)+(6³+6⁴+6⁵)+(6⁶+6⁷+6⁸)+ ...+ (6⁹⁹+6¹⁰⁰+6¹⁰¹) 
   = (6⁰+6¹+6²)+6³(6⁰+6¹+6²)+6⁶(6⁰+6¹+6²)+.....+ 6⁹⁹(6⁰+6¹+6²)=(6⁰+ 6¹+ 6²)(1+6³+6⁶+ ... +6⁹⁹) =(1+6+36)(1+6³+6⁶+ ..... +6⁹⁹)=43(1+6³+6⁶+....... +6⁹⁹) care e divizibil cu 43

6⁰+6² =1+36 =37
6¹+6³ =6(1+6²) = 6(1+36) = 6*37 
nu stiu daca e corect ultimul