Question

1)Calculati: a) (6 +12+18+24+...+600)totul la putera 2 : ( 3+6+9+12+...+300):(1+2+3+...+100)=
2)Daca 2* a+b=5 si 2*b+3*c=7, calculati 4*a+8*b+9*c.
3)Rezolvati : a) 32 + 6 *x=11*x-113
                  b)8+13*x=2*x+41
  c)9 la puterea 2ori x =81 la puterea 4
d )8 la puterea 3ori x=64 la puterea 3
e)3 la puterea x+2 + 3 la puterea x=270
f)3* 2 la puterea x+2 -5*2 la puterea x+1 -2 la puterea x =2
g)5 la puterea x+2 - 2*5 la puterea  x+1 -12 *5 la puterea x = 375
h)2 la puterea x * 3 la puterea x+1 =108
i)3 la puterea x+1 *5 la puterea x = 675
j) 3 la puterea x+2 *7 la puterea x - 3 la puterea x * 7 la puterea x+1 = 2940

Answer 1

1.a) 
(6 +12+18+24+...+600)² = [6(1+2+3+...+100)]² = 36(1+2+3+...+100)² = 36(1+2+3+...+100)(1+2+3+...+100)
( 3+6+9+12+...+300) = 3(1+2+3+...+100)
(6 +12+18+24+...+600) / [( 3+6+9+12+...+300) * (1+2+3+...+100)] = 
= [36(1+2+3+...+100)(1+2+3+...+100)] /[3(1+2+3+...+100) * (1+2+3+...+100)] =
= 36 / 3 = 12

2)
2a + b         = 5    Inmultim ecuatia 1 cu 2
      2b + 3c = 7    Inmultim ecuatia 2 cu 3
-------
4a + 2b          = 10
       6b  + 9c = 21
------------------------------Adunam ecuatiile
4a + 8b + 9c = 31

3)Rezolvati : 

a) 32 + 6 *x=11*x-113  <=> 11x - 6x = 113 + 32 <=> 5x = 145 => x = 145 / 5 = 29 

b)8+13*x=2*x+41  <=> 11x = 33 => x = 33 / 11 = 3

c) 9 la puterea 2ori x =81 la puterea 4  <=> 9^(2x) = 9²  =>  2x = 2 => x = 1

d )8 la puterea 3ori x=64 la puterea 3  <=> 8^(3x) = (8²)^3 <=> 3x = 2*3  => x = 6 / 3 = 2

e)3 la puterea x+2 + 3 la puterea x=270  <=>  3^x (3² + 1) = 270 <=> 3^x = 270 / 10
=>3^x = 27 <=> 3^x = 3^3  =>  x = 3

f)3* 2 la puterea x+2 -5*2 la puterea x+1 -2 la puterea x =2
=> 2^x (3*2² - 5*2 - 1) = 2
     2^x (12 - 10 - 1) = 2
     2^x = 2^1
     => x = 1

g)5 la puterea x+2 - 2*5 la puterea  x+1 -12 *5 la puterea x = 375
      => 5^x (5² - 2 * 5 - 12) = 375
      => 5^x (25 - 10 - 12) = 375
      => 5^x = 375 / 3 
      => 5^x = 125
      => 5^x = 5^3
      => x = 3 
h)2 la puterea x * 3 la puterea x+1 =108
     => 2^x * 3^x * 3^1 = 108
     => 6^x * 3 = 108      => 6^x = 108 / 3
    => 6^x = 36
    => 6^x = 6^6
   => x = 6

i)3 la puterea x+1 *5 la puterea x = 675     => 15^x * 3 = 675    => 15^x = 675 / 3
   => 15^x = 225
   => 15^x = 15²
   => x = 2

j) 3 la puterea x+2 *7 la puterea x - 3 la puterea x * 7 la puterea x+1 = 2940    
   21^x (3² - 7^1) = 2940
   21^x * 2 = 2940 / 2
   21^x = 1470
Aici este o greseala.  1470 nu este o putere a lui 21

=>  $x =log_{21} (1470)$

Answer 2

1) [6(1+2+3+.......+100)]^2÷3(1+2+3+......+100)÷(1+2+.....+100)=36÷3=12

2) [ 2a+b=5]·2⇒ 4a+2b=10

    [2b+3c=7]·3⇒ 6b+9c=21 ⇒adunand cele doua egalitati ⇒4a+8b+9c=31

3)  a) 32+113=11x-6x   ⇒ 145=5x ⇒ x=29

b) 13x-2x=41-8 ⇒ 11x=33 ⇒ x=3

c) 9^2x=9^8   2x=8  x=4

d) 8^3x=8^6   3x=6  x=2

e) 3^x(3²+1) =270    3^x=3³    x=3

f) 2^x( 12-10-1)=2     x=1

g) 5^x( 25-10-12)=375    5^x·3=375   5^x=125    x=3

h) 2^x·3^(x+1)=2²·3³     x=2

i) 3^(x+1)·5^x=3³·5²             x=2

j) 3^x·7^(x-3) [3²-7^4]=2940    3^x·7^(x-3)= ...    ..este o greseala in enunt!!!!!!