Question

1. Dacă A, B, C, D sunt puncte situate pe un cerc (în sensul mişcării ace- lor de ceasornic) astfel ca [AB] = [CD] si M,N sunt mijloacele arcelor AB, respectiv CD, arătaţi că [AC] = [BD] = [MN]. Cu desen va rog!!!​

Answer 1

A, B, C, D sunt puncte situate pe un cerc

[AB] = [CD] ⇒ m(arcAB) = m(arcCD) = 2x

(la coarde congruente corespund arce congruente)

M,N sunt mijloacele arcelor AB, respectiv CD

⇒ m(arcAM) = m(arcDN) = x

m(arcAC) = m(arcAD) + m(arcDC) = m(arcAD) + 2x

m(arcBD) = m(arcAD) + m(arcAB) = m(arcAD) + 2x

m(arcMN) = m(arcAM) + m(arcAD) + m(arcDN) = m(arcAD) + 2x

⇒ m(arcAC) = m(arcBD) = m(arcMN)

(la arce congruente corespund coarde congruente)

$\implies [AC] = [BD] = [MN]$

q.e.d.

Answer 2

Dacă A, B, C, D sunt puncte situate pe un cerc

(în sensul mişcării ace- lor de ceasornic)

astfel ca [AB] = [CD]

si M,N sunt mijloacele arcelor AB, respectiv CD

arătaţi că

[AC] = [BD] = [MN].

demonstrație

dacă AB=CD căutăm să arătăm că sunt paralele

∆ ABC=∆ ACD {AB=DC; AC comună;<ACB=<CAD}

conform (L.U.L.)=><BAC=<ACD=>AD=BC

deci arcele ABC și ADC sunt egale=>AC este diametrul

cercului

de asemenea patrulaterul ABCD este paralelogram

și are două unghiuri de 90⁰ <B și<C=>și diagonalele sunt egale

AC=BC și MN linie mijlocie deci paralelă cu AD și BC de asemenea

trece și prin O,deci e tot diametru.

= >[AC] = [BD] = [MN].

sau toate punctele să fie în jumătate de cerc

vom avea ABCD trapez isoscel