Question

1.Dacă x,y€R si x^2 + y^2 - 6x - 10y + 30= 0. Sa se arate ca 4 mai mic sau cel putin egal decât x+y mai sau cel putin egal cu 12.

2.Calculati x•y•z știind ca x,y,z€R si x^2 +y^2+z^2+14=2x+4y+6.

Va roggg e urgenttt! Dau coroanaaaa!!!

Answer 1

1) egalitatea din enunt poate fi scrisa sub forma:
x^2 -6x+9+y^2-10y+25=4

(x-3)^2+(y-5)^2=4
(x-3)^2=4-(y-5)^2 ⇒ (x-3)^2=(7-y)(y-3)≥0 ⇒ 3≤y≤7 (1)
(y-5)^2=4-(x-3)^2 ⇒ (y-5)^2=(5-x)(x-1)≥0 ⇒ 1≤x≤5 (2)
prin adunare (1) si (2) rezulta (1+3)≤x+y≤(5+7) c.c.t.d.

2) aici e o problema si anume:
x^2+y^2+z^2-2x-4y+z^2+8=0
(x-1)^2 + (y-2)^2 +z^2+3=0
avem suma de termeni pozitivi egala cu zero ceea ce presupune:
x=1
y=2
z^2+3=0
dar z^2 ≥0 deci z^2+3 nu poate fi zero cu z∈R
probal ceva e gresit in enunt (ori in loc de 6 sa fie 9 sau in loc de 14 sa fie 11)
situatie in care z=0 si atunci xyz=0
sau mai poate fi situatia z^2-3=0 |z|=√3