Question

1. Demonstrati ca numarul A=$63^{n}$+$7^{n+1}$·$3^{2n+1}$-$21^{n}$·$3^{n+2}$ , n∈N este divizibil cu 13.

2. Demonstrati ca numarul B=$35^{n}$+$7^{n}$·$5^{n+2}$+3·$7^{n+1}$·$5^{n}$, n∈N este divizibil cu 47.

3. Aratati ca nr. A=7·$12^{n}$·$3^{n+1}$+6·$4^{n+1}$·$9^{n+2}$+$18^{n+1}$·$2^{n+1}$ este divizibil cu 2001, oricare ar fi n∈N*

4. Determinati cifra x, in fiecare dintre cazurile:
a) ($5^{23}$+123xcu bara deasupra) este divizibil cu 5
b) (1200+1234xcu bara deasupra) este divizibil cu 3
d) (1·2·3·4·5·6+24xcu bara deasupra) este divizibil cu 9

Answer 1

1) A = 3^2n ·7^n + 7^(n+1) ·3^(2n+1) - 3^(2n+2) ·7^n =
= 3^2n ·7^n ·(1 + 7·3 - 9) = 13·3^2n ·7^n = divizibil cu 13
2) B = 5^n ·7^n + 7^n ·5^(n +2) + 3·7^(n+1) ·5^n
B = 5^n ·7^n ·(1 + 25 + 21) = 47·5^n ·7^n = divizibil cu 47
3)  A = 7·2^2n ·3^(2n+1) +·2^(2n+3) ·3^(2n+5) + 2^(2n+2) ·3^(2n+2) =
= 2^2n ·3^(2n+1) ·[ 7 + 8·81 + 4·3] = 667·3·2^2n ·3^2n = 2001·2^2n ·3^2n = divizibil cu 2001
4)  a) x = 0 sau 5
b) x ∈{2,5,8}
d) x ∈ { 3,}