Question

1.Determinati cel mai mic numar natural care are suma cifrelor 2013.

2. aratati ca ultima cifra a produsului x(x+1) poat efi doar 0,2 sau 6 pentru orice numar natural x.

3.demonstrati ca nu exista numere natural x , astfel incat

5x+1024= abcd7 (bara deasupra)

Answer 1

1)
Cel mai mic numar cu suma cifrelor egala cu 2013 este numarul cu cele mai putine cifre.
Ca un numar mai mic de cifre sa aiba aceeasi suma, cifrele trebuie sa fie de valoare maxima.
Ne propunem sa gasim numarul format din cifre de "9" 
2013 / 9 = 223 rest 2
Numarul cautat este 2 urmat de 223 de nouri (cifre de 9) =
= 29999999999999999................999999
     \______________223 de 9_________/

2)
Ux * U(x+1)  = U
 0  *    1       = 0
 1  *    2       = 2
 2  *    3       = 6
 3  *    4       = 2
 4  *    5       = 0
 5  *    6       = 0
 6  *    7       = 2
 7  *    8       = 6
 8  *    9       = 2
 9  *    0       = 0
cctd

 3)
Ultima cifra a lui 5*x ∈ {0; 5}
Ultima cifra (5*x + 1014) ∈ {4; 9}
                  _____
Ultima cifra (abcd7) = 7
Dar:
4 ≠ 7  si 9 ≠ 7
cctd