Question

1)Din punctele A si B ale unui cerc se duc coardele paralele AC si BD.Din C si din D se duc alte coarde paralele CE si DF.Sa se arate ca [AE]=[BF] si ca patrulaterul ABEF este trapez
2)Fie I punctul de intersectie al bisectoarelor interioare ale triunghiului ABC.AI se intersecteaza cu cercul circumscris triunghiului in D.Sa se arate ca triunghiul BDI este isoscel.

Answer 1

1.
∡ACE=∡BFF (unghiuri cu laturile respectiv paralele) rezulta:
arc ABE=arc BEF si [AE]=[BF], la unghiuri congruente corespund coarde congruente.
∡AEB=∡AFB au aceeasi masura arc AB
∡FBE=∡EAF au aceeasi masura arc EF
∡BOE=∡AOF opuse la varf, rezulta:
tr.BOE este asemenea cu tr. AOF
EO/OA=BO/OF ⇔ EO/AE=BO/BF ⇒ EO=BO ⇒ tr. BOE este isoscel si tr. AOF este isoscel
∡OEB=∡EBO=∡OAF=∡AFO (din 2 si 4)
∡EBO=∡AFO ⇒ alterne interne ⇒ AF║BE
AB∦EF ⇒ ABEF este trapez
2.
teorie: 
masura unui unghi cu varful pe cerc are masura egala cu jumatate din arcul subantins
masura unui unghi cu varful in interiorul cercului (∡BID ) are masura semisuma arcelor pe care le subantinde.
am notat:
∡A=x, ∡B=y, ∡C=z
fara detalii se observa ca:
∡IBD=(x+y)/2
∡BID=(x+y)/2
∡BDI=z
rezulta ca tr. BDI este isoscel