Question

1)Fie a ,b,c laturile unui triunghi.
Daca a²+b²+c²=ab+bc+ca,atunci triunghiul este echilateral
Stiind ca a este de 3cm sa se determine:inaltimea acestui triunghi si aria acestui triunghi.
In triunghiul dreptunghic,masura A=90 si masura unghiului C=30 grade,iar (BM este bisectoarea unghiului ABC ,M∈ AC)
Se construieste AD_|_BM,D∈BM si se noteaza cu E intersectia dintre AD si latura BC
a)Sa se stabileasca natura triunghiului ABE,
b)Sa se arate ca ME_|_BC,
c)Daca DM=6cm,sa se calculeze lungimea segmentelor AC si BM.

Answer 1

1) a²+b²+c²=ab+ac+bc
a²+b²+c²-ab-ac-bc=0    -O inmultim cu 2 =>
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+a²+c²-2ac=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
a, b si c >0 pt ca sunt laturile unui Δ
trei numere pozitive adunate dau 0, daca toate sunt 0
=>a-b=0
    a-c=0
    b-c=0
=>a=b=c= laturile unui triunghi echilateral
Daca a=3, inaltimea:
h=a√3/2=3√3/2
Aria=h*a/2 =a²√3/4

2)
a)
<B=90-<C=60°
Comparam ΔBAD cu ΔBED
<BDA=<BDE=90
BD=bisectoarea <B=> <ABD=<EBD=<B/2=30°
DB-latura comuna,
Cf. Cazului de congruenta ULU=> ΔBAD ≡ ΔBED
=> AB≡EB=> ΔABE este isoscel

b)Am demonstrat ca ΔBAD ≡ ΔBED => DE=DA
Comparam ΔEMB cu ΔMAB observam ca ED*MB=AD*MB
=> Aria ΔEMB = Aria ΔMAB
=> AM*AB=ME*EB => AM=ME
ΔEMB ≡ ΔMAB => <MAB=<MEB=90
=> ME_|_BC

c) Stim ca DM=6cm
in ΔADB:  Daca <DAB=90-DBA=60=>
 <MAD=<A-EAB=90-60=30°
In ΔMAD: MDA=90, avem:
 sin <MAD=1/2=MD/MA=6/MA => MA=6*2=12

In ΔMAB avem:
Sin <MBA=sin 30=1/2=MA/MB=12/MB=> MB=12*2=24
In ΔCMB, <MCB=<MBC=30=>ΔCMB =isoscel si:

 MC=MB=24

=> CA=CM+MA=24+12=36 cm