Question

1. Fie An (2n-1 , n ) , n∈N
a) Scrieti ecuatia dreptei A1 A2
b) Aflati aria triunghiului OA2A3
c) Aratati ca A1 , A2 , An sunt coliniare pt orice n∈N
2. f=4x³-3x²-3x+4 . Rezolvati in R ecuatia f(x)=0
3. a) f(x) = (x+3)³ . Demonstrati ca f(x) este crescatoare pe R
b)lim cand x⇒∞ din f"(x) supra 2x+3

Answer 1

a) y = ax +b
A1(1, 1)   A2(3,2)
A1 ∈ (A1A2) inseamna : ptr. x = 1 ⇒ y = 1    a + b = 1
A2 ∈ (A1A2)   " " " " "          x = 3  ⇒ y = 2   3a + b =2 ⇒ 2a = 1  a = 1/2   b = 1/2
ecuatia dreptei : y = x/2 + 1/2
b) A3(5, 3)     OA2 = √(9+4) = √13     OA3 = √(25 + 9) = √34
A2A3 = √[(5-3)² + (3-2)²] = √5
A Δ = √p(p-a)(p-b)(p-c)
p = (√13+√34 +√5)/2  p-a =(√13 + √34 - √5)/2
    p-b = (√13- √34 +√5)/2  p-c =(-√13+√34 +√5)/2
4p(p-b)= [(√13 +√5) + √34][(√13 +√5 - √34] = (√13 +√5)² - 34 = 2√65 -16=2(√65 -8)
p(p-b)=(√65 - 8)/2
4(p-a)(p-c) = [ √34+(√13-√5)][√34 -(√13 - √5)]= 34- (√13 -√5)² = 2√65 +16 =2(√65+8)    (p-a)(p-c)= (√65+ 8)/2
p(p-a)(p-b)(p-c) = 1/4(65- 64) = 1/4 ⇒ A ΔOA2A3 = 1/2
c) ecuatia dreptei (AB) : y = x/2 + 1/2    An ∈ (A1A2) ⇔ ptr. x = 2n+ 1  y = n
..... sa verificam: x = 2n + 1 ⇒ y = (2n-1)/2 + 1/2 =  (2n -1 + 1)/2 = n ⇒ An∈(A1A2)
2.  4x³-3x²-3x+4 =0    4(x³ + 1) - 3x(x+1) = 0    (x+1)(4x² - 4x +4 - 3x) = 0
(x + 1)(4x²- 7x +4) = 0  x+1 = 0 x1 = -1  4x²- 7x + 4 = 0  Δ = 49 - 64 = - 15 <0 ⇒
⇒ x ∉ R
3. f(x) = (x+3)³    ptr. x = x1 ⇒ f(x1) = x1³ + 9x1² + 27x + 27
ptr. x= x2 > x1 ⇒ f(x2) = x2³ +9x2² + 27x2 + 27 > f(x1) ⇒ f(x) = crescatoare
4.. f'(x) = 3x² + 18x + 27   f"(x) = 6x + 18  lim (6x + 18)/(2x +3) = 3