Question

1.Fie dreptunghiul ABCD şi punctele P ∈ (AB), Q ∈ (CD) astfel încât [AP]≡[CQ]. Construim PR || BD, R ∈ (AD) şi QS || BD, S ∈ (BC).
a) Arată că patrulaterul PRQS este paralelogram.
b) Arată că dreapta RS trece prin centrul dreptunghiului ABCD.

Vă rog frumos ajutaţi-mă! Am nevoie şi de figură! Dau coroană!

Answer 1

∡SQC=∡BDC=x corespondente
∡BDC=∡ABD=x alterne interne
∡ABD=∡APR=x corespondente
rezulta ca tr. APR este congruent cu CQS (cateta si unghi ascutit)
PR=SQ si PR║BD║SQ ⇒ PRQS este paralelogram (doua laturi opuse congruente si paralele)
∡RDO=∡SBO  alterne interne
∡DRO=∡BSO alterne interne
DR=AD-AR=BC-SC=BS
rezulta ca tr. DOR este congruent cu tr. BOS (ULU)
rezulta: DO=OB si RO=OS
stim ca diagonalele dreptunghiului sunt congruente si se injumatatesc, prin urmare O=BD∩AC, O este centrul dreptunghiului ABCD (O∈AC)

suplimentar: stim ca intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc.
prin urmare diagonalele paralelogramului PRQS si diagonalele dreptunghiului ABCD sunt concurente in O,  centrul dreptunghiului.