Question

1. Fie experimentul de la exrcitiul 6 si evenimentele : A: numarul obtinut pe zarul rosu este par, B: suma numerelor obtinute pe cele doua zaruri este 6 . Calculati P(A),P(B)... vedeti in poza.

2. Se considera trei urne in care se afla bile albe si rosii . Prima urna contine 5 bile albe si 5 rosii, a doua contine 2 bile albe si 8 rosii , iar ultima urna contine 8 bile albe si 2 bile rosii . Extragem cate o bila din fiecare urna . Calculati probabilitatea ca doua bile sa fie albe si una rosie ? (poza )

DAU COROANA !!!!!

Answer 1

1.
Pentru fiecare eveniment trebuie sa calculam numarul de rezultate posibile care determina realizarea acelui eveniment.

Pentru A va trebui sa vedem in cate cazuri numarul obtinut de pe zarul rosu este par. Le vom calcula folosind regula produsului.
Pentru zarul rosu sunt 3 posibilitati (2, 4, 6 - nr pare), iar pentru cel alb sunt 6 posibilati (de la 1 la 6), astfel nr de cauri favorabile este  3 * 6 = 18

Cazuri posibile 6 * 6 = 36

P(A) = 18 / 36 = 1/2

Pentru B, va trebui sa vedem in cate moduri poate fi scris 6 ca suma de 2 numere: (1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1)  (presupunem ca primul numar din pereche corespunde zarului alb iar al doilea corespune zarului rosu)
Sunt 5 cazuri favorabile.

P(B) = 5 / 36

P(A∩B) este probabilitatea ca cele 2 evenimente sa se realizeze simultan.

Pintre cele 5 perechi de numere de la P(B), doar 2 au numar par pe zarul rosu ==> 2 cazuri favorabile

P(A∩B) = 2 / 36 = 1/18


$P_A(B)$ este probabilitatea evenimentului B conditionata de evenimentul A. Asta inseamna ca vom arunca odata cu zarurile si se va realiza evenimentul A. Acum, care este probabilitatea ca, aruncand inca odata zarurile sa se realizeze evenimentul B?

Asta are o formula:

$P_A(B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Si o sa fie (1/18) / (5 / 36) = 2 / 5

Acelasi lucru si pentru $P_B(A)= \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{ \frac{1}{18} }{ \frac{1}{2}}= \frac{1}{9}$



2.
Ne vom folosi de schema lui Poisson:

 $(p_1x+q_1)(p_2x+q_2)(p_3x+q_3)$

Unde p1, p2, p3 sunt probabilitatile de a extrage o bila alba din prima, a doua, respectiv, a treia urna, iar q1, q2, q3 sunt probabilitatile de a nu se extrage bila alba din urne, sqtfel q = 1 - p pentru toate probabilitatile

p1 = 5 / 10 = 1/2(5 bile albe; 10 numarul total de bile)
p2 = 2 / 10 = 1/5
p3 = 8 / 10 = 4/5

q1 = 1 - p1 = 1/2
q2 = 1 - p2 = 4/5
q3 = 1 - p3 = 1/5

Acum vom inlocui valorile, vom distribui parantezele si vom grupa termenii in functie x. Iar exponentul lui x reprezinta numarul de bile albe. In cazul nostru vrem sa extragem doua bile albe, deci vom avea nevoie de coeficientul lui x^2. Acela va fi si probabilitatea de a extrage 2 bile albe si una rosie.

O sa distribui mai inati parantezele si apoi fac inlocuirea:

[tex](p_1x+q_1)(p_2x+q_2)(p_3x+q_3)=\\ =(p_1p_2p_3)x^3+(p_1p_2q_3+p_1q_2p_3+q_1p_2p_3)x^2+\\ +(p_1q_2q_3+q_1p_2q_2+q_1q_2p_3)x+q_1q_2q_3[/tex]

Acum calculam coeficientul lui x^2:

[tex]p_1p_2q_3+p_1q_2p_3+q_1p_2p_3 = \frac{1}{50}+ \frac{16}{50}+ \frac{4}{50} = \frac{21}{50} [/tex]