Question

1.Fie o prisma triunghiulara regulata.Lungimea muchiei laterale este de 3 cm, iar distanta de la virf al unei baze la mijloul laturii opuse a celeilalte baze este de 6 cm.Calculati aria totala a prismei si volumul ei.
2.Baza unei piramide este un triunghi dreptunghic cu un unghi de 60 grade. Muchiile laterale ale piramidei formeaza cu planul bazei unghiuri de cite 45 de grade. Inaltimea piramidei este de 10 cm.Calculati lungimea catetei opuse unghiului de 60 grade al triunghiului din baza piramidei, aria totala si volumul.

Answer 1

1)M-mij lui B'C'
ΔB'BM,mas<B'=90 ⇒B'M²=BM²-B'B²=6²-3²=36-9=27  ⇒B'M=3√3
B'M=MC'=B'C'/2  ⇒B'C'=2*3√3=6√3
At=Al+2Ab

Ab=l²√3/4=  (6√3)² *√3/4=  108√3/4=  27√3
Al=Pb*h=18√3*3=54√3
Pb=3l=3*6√3=18√3
h=3
At=54√3+2*27√3=54√3 +54√3=108√3
V=Ab*h=27√3*3=  81√3

2)daca masurile muchiilor laterale formeaza cu baza <de 45 grade intr-un triunghi (ce este fata laterala) devine isoscel mas<A=mas<B=45  rezulta ca masura <V=90
ΔVBC,mas<V=90
notam cu x-muchia laterala
VM_|_BC ;VM-h in ΔVBC
VM-apotema piramidei
VM=VB*VC/BC
BC²=VB²+VC²=x²+x²=2x²  ⇒BC=x√2
VM=x*x/x√2=  x/√2  rationalizam
VM=x√2/2

in ΔABC (echilateral)  BC=x√2
AM-apotema bazei
AM=l√3/2=  x√2* √3/2=  x√6/2
OM=1/3 *AM
OM=1/3  *x√6/2
OM=x√6/6

VO_|_(ABC)
OM inclus (ABC)  ⇒VO_|_OM  ⇒mas<VOM=90
ΔVOM    ⇒TP
⇒VM²=VO²+OM²
(x√2/2 )²= 10²+ (x√6/6)²
2x²/4= 100 +6x²/36  aducem la acelasi numitor
18x²=3600+6x²
18x²-6x²=3600
12x²=3600
x²=300
x=10√3
BC=x√2=  10√3*√2=10√6
AB=BC=10√6
VM=x√2/2=  10√6 *√2/2= 5√12= 5*2√3=10√3

At=Al+Ab
Al=Pb*ap/2=
=10√6*3 *10√3/2
=30*5√18
=150*3√2
=450√2
Ab=l²√3/4=  (10√6)² *√3/4=  600√3/4=  150√3
At=450√2 +150√3

V=Ab*h/3= 150√3 *10/3=  50√3*10= 500√3