Question

1.) Fie punctele: A(-2,-1) B(3,-1) C(3,2) D(-2,2). a. Aratati ca ABCD este dreptunghi. b. Determinati coordonatele intersesctiei diagonalelor dreptuncgiului. 2.) Fie triunghiul ABC, cu: A(-2,0) B(2,0) C(0,5). a. Aratati ca triunghiul ABC este isoscel. b. Determinati coordonatele capetelor medianelor triunghiului ABC. CLASA a-7 VA ROG E URGENT

Answer 1

1) a. A(-2 , -1) ; B(3 , -1) ; C(3 , 2) ; D(-2 , 2).
Pentru a arata ca ABCD este dreptunghi vom demonstra ca lungimile
laturilor AB = CD si BC = AD.

AB = √[3 - (-2)]² + [-1 - (-1)]² = √5² + 0 = √5² = 5
CD = √(-2 - 3)² + (2 - 2)² = √(-5)² + 0 = √5² = 5.

BC = √(3 - 3)² + [2 - (-1)]² = √0 + 3² = √3² = 3
AD = √[-2 - (-2)]² + [2 - (-1)]² = √0 + 3² = √3² = 3.

Deoarece AB = CD si AD = BC, rezulta ca ABCD este un dreptunghi.

b. Fie AC ∩ BD = {O} punctul de intersectie al diagonalelor
dreptunghiului. Pentru a determina coordonatele punctului O
trebuie sa scriem ecuatiile dreptelor AC si BD:

- ecuatia dreptei AC este:
[x - (-2)] : [3 - (-2)] = [y - (-1)] : [2 - (-1)] ⇔ (x + 2) : 5 = (y + 1) : 3 ⇔
(x + 2) · 3 = (y + 1) · 5 ⇔ 3x + 6 = 5y + 5 ⇔ 3x + 6 - 5y - 5 = 0 ⇔
3x - 5y + 1 = 0          (1)

- ecuatia dreptei BD este:
(x - 3) : (-2 - 3) = [y - (-1)] : [2 - (-1)] ⇔ (x - 3) : (-5) = (y + 1) : 3 ⇔
(x - 3) · 3 = (y + 1) · (-5) ⇔ 3x - 9 = -5y - 5 ⇔ 3x - 9 + 5y + 5 = 0 ⇔

3x + 5y - 4 = 0          (2)

Pentru a obtine coordonatele punctului O(x , y) rezolvam sistemul
obtinut din ecuatiile (1) si (2) de mai sus:

3x - 5y + 1 = 0
3x + 5y - 4 = 0
______________
6x    /  -3 = 0 ⇒ 6x = 3 ⇒ x = 3 / 6 ⇒ x = 1 / 2
3 (1 / 2) - 5y + 1 = 0 ⇒ 3 / 2 - 10y / 2 + 2 / 2 = 0 ⇒ (3 - 10y + 2) : 2 = 0
⇒ 5 - 10y = 0 ⇒ 10y = 5 ⇒ y = 5 / 10 ⇒ y = 1 / 2.

Deci coordonatele punctului de intersectie al diagonalelor
dreptunghiului ABCD este O(1 / 2 , 1 / 2).

2) a. A(-2 , 0) ; B(2 , 0) ; C(0 , 5).
Triunghiul ABC este isoscel daca AC = BC. Dar
AC = √[0 - (-2)]² + (5 - 0)² = √2² + 5² = √4 + 25 = √29
BC = √(0 - 2)² + (5 - 0)² = √(-2)² + 5² = √4 + 25 = √29.

Deci ABC este un triunghi isoscel cu baza AB in care CA = CB.

b. Fie M ∈ [AB] un punct aflat la jumatatea segmentului AB
si CM mediana in triunghiul CBA.

Deoarece CM este mediana el are coordonatele:
CM( (0 + x) : 2 , (5 + y) : 2), unde M(x , y).

Vrem sa aflam coordonatele punctului M. Deoarece M este la jumatatea
laturii AB, rezulta ca M este mijlocul laturii AB si deci:
M((-2 + 2) : 2 , (0 + 0) : 2) ⇒ M(0 , 0) = O.

Deci coordonatele medianei sunt CM(0 , 5 / 2).

De retinut!!! Distanta dintre 2 puncte A(x₁ , y₁) si B(x₂ , y₂) este:
AB = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Ecuatia dreptei AB este:
(x - x₁) : (x₂ - x₁) = (y - y₁) : (y₂ - y₁)

Mijlocul segmentului AB este:
M( (x₁ + x₂) : 2 , (y₁ + y₂) : 2).